Feladat: 969. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Dőry Anna ,  Langer Tamás 
Füzet: 1966/január, 7 - 8. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Körülírt kör, Húrnégyszögek, Síkgeometriai bizonyítások, Gyakorlat, Thalesz tétel és megfordítása, Kör geometriája
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1965/február: 969. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a téglalap átlói AC és BD, metszéspontjuk, a körülírt k kör középpontja, O, és a k kör tetszés szerinti P pontjából az átlókra bocsátott merőlegesek talppontja Q, ill. R, lásd az ábra a) részét; tegyük fel egyelőre, hogy különböznek O-tól.
Az OP sugár Q-ból is, R-ből is derékszögben látszik, így Q és R az OP szakasz fölé írt k1 Thalész‐körnek az átlókkal való (O-tól különböző) metszéspontjai; a kérdéses QR szakasz k1 húrja. A húr O-ból vett látószöge az átlók közti szögek valamelyike (amelyek egymás kiegészítő szögei).
Másrészt P bármely helyzetében a Thalész‐kör átmérője ugyanakkora. Egyenlő átmérőjű körökben egyenlő vagy egymást 180∘-ra kiegészítő kerületi szögekhez egyenlő húrok tartoznak, ezért QR hossza állandó.

 
 

Eredményünk akkor is érvényes, ha Q és R egyike O-ba esik, és a másik különbözik P-től. Ekkor arra hivatkozunk, hogy QR-nek P-ből vett látószöge az átlók közti szöggel egyenlő, mert merőleges szárú szögek (az ábra b) része).
Ha Q és R egyike O-ba, másika P-be esik ‐ és így QR látószöge sem O-ból, sem P-ből nem értelmezhető ‐, akkor a téglalap átlói merőlegesek, vagyis négyzettel állunk szemben, és P az egyik csúcsban van. A mondott helyzetben QR egyenlő k sugarával, míg P más helyzeteiben a PQOR idom téglalap, és így QR=OP=r (az ábra c) része). ‐ Ezzel az állítás bizonyítását befejeztük.
 
 Dőry Anna (Budapest, Berzsenyi D. g. I. o. t.)
 

Megjegyzés. A fentivel lényegében azonos bizonyítást kapunk, ha PQ-t és PR-et meghosszabbítjuk a k-val való második metszéspontjukig, mert ekkor k1-et P-ből kétszeresére nagyítva vittük át k-ba.
 
Langer Tamás (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. II. o. t.)