Kezdőlap


Feladat:	966. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Babai L. , Eff L. , Horváth Rozália , Kafka P. , Kugler S. , Laborczi Zoltán , Márkus András , Marossy F. , Méhesfalvi P. , Molnár G. , Palla L. , Somos E. , Szeredi P. , Takács L. , Verdes S.
Füzet:	1966/február, 66 - 68. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Forgatva nyújtás, Magasságvonal, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/február: 966. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szóban forgó $A_{0} B_{0} C_{0} = T_{0}$ háromszög egymás utáni csúcsainál levő szög $180^{\circ} / (1 + 4 + 10) = 12^{\circ}$ -nak rendre $1$ -szerese, $4$ -szerese, $10$ -szerese, azaz $α_{0} = 12^{\circ}$ , $β_{0} = 48^{\circ}$ , $γ_{0} = 120^{\circ}$ , a háromszög tompaszögű.

1. ábra

Az 1252. feladatban¹ láttuk, hogy ha a

D E F

háromszögben

E F D ∢ = φ > 90^{\circ}

(1. ábra), akkor az egymás utáni csúcsokból húzott magasságok talppontjaival meghatározott

D_{1} E_{1} F_{1}

talpponti háromszögnek szögei (az oldalak mint átmérők fölé irt Thalész-körökben fekvő

D D_{1} E_{1} E

E E_{1} F F_{1}

és

F F_{1} D D_{1}

húrnégyszögek felhasználásával)

\begin{matrix} F_{1} D_{1} F_{1} ∢ = δ_{1} = F_{1} D_{1} F ∢ + E D_{1} E_{1} ∢ = 2 E D F ∢ = 2 δ, \\ D_{1} E_{1} F_{1} ∢ = ε_{1} = D_{1} E_{1} D ∢ + F E_{1} F_{1} ∢ = 2 F E D ∢ = 2 ε, \end{matrix}

és az

E F_{1} D_{1}

háromszöget is felhasználva

\begin{matrix} E_{1} F_{1} D_{1} ∢ = & φ_{1} = E F_{1} D_{1} ∢ - E F_{1} E_{1} ∢ = (180^{\circ} - δ - ε) - E F E_{1} ∢ = \\ = & φ - (180^{\circ} - φ) = 2 φ - 180^{\circ}, \end{matrix}

és hasonlóan a

D F_{1} E_{1}

háromszögből

E_{1} F_{1} D ∢ = φ = E F_{1} D_{1} ∢

. Láttuk továbbá, hogy (

φ > 90^{\circ}

esetén) a talpponti háromszög csúcsainak

D_{1}

E_{1}

F_{1}

D_{1}

sorrendben való körüljárása ellentétes irányú a kiindulási háromszög csúcsainak

D

E

F

D

sorrendben való körüljárási irányával.
Ezek szerint a

T_{0}

-hoz szerkesztett

A_{1} B_{1} C_{1} = T_{1}

talpponti háromszög (2. ábra) csúcsainál levő szögek nagysága rendre

α_{1} = 2 α_{0} = 24^{\circ}

β_{1} = 2 β_{0} = 96^{\circ}

γ_{1} = 2 γ_{0} - 180^{\circ} = 60^{\circ}

, és mivel így

T_{1}

B_{1}

csúcsánál tompaszögű, azért a hozzá szerkesztett

A_{2} B_{2} C_{2} = T_{2}

talpponti háromszögnek, a

T_{0}

szóban forgó második talpponti háromszögének szögei rendre

α_{2} = 48^{\circ}

β_{2} = 12^{\circ}

γ_{2} = 120^{\circ}

. Látjuk, hogy

α_{2} = β_{0}

β_{2} = α_{0}

és

γ_{2} = γ_{0}

, vagyis

T_{2}

hasonló

T_{0}

-hoz úgy, hogy az egymásnak megfelelő csúcs-párok

A_{0}

és

B_{2}

, ill.

B_{0}

és

A_{2}

, végül

C_{0}

és

C_{2}

Eszerint a hasonlóságban

T_{2}

csúcsainak

B_{2}

A_{2}

C_{2}

sorrendben való körüljárása felel meg

T_{0}

csúcsai

A_{0}

B_{0}

C_{0}

sorrendű körüljárásának.

E

két körüljárás ellentétes irányú, mert a

\begin{matrix} B_{2}, A_{2}, C_{2}; A_{2}, B_{2}, C_{2}; A_{1}, B_{1}, C_{1} A_{0}, B_{0}, C_{0} \end{matrix}

körüljárások iránya szomszédos páronként ellentétes, így a negyediké ellentétes irányú az elsőével. Ezért

T_{2}

előállítható

T_{0}

bármely (a síkban levő) tengelyre vonatkozó tükörképéből alkalmas forgatás és kicsinyítése² útján.
Induljunk ki

T_{0}

-nak a leghosszabb oldalára való

A_{0} B_{0} C_{0}^{*} = T_{0}^{*}

tükörképéből, így a mondott forgatás szöge egyenlő az

A_{0} B_{0}

irányt

B_{2} A_{2}

-be átvivő forgás szögével. Az

A_{0} B_{0}

irányt

C_{1}

körül

C_{1} B_{1}

-be

180^{\circ} - γ_{0} = 60^{\circ}

-os forgás viszi át ‐ abban az irányban, amely

A_{0} B_{0}

-t

α_{0} = 12^{\circ}

-os forgással viszi át

A_{0} C_{0}

-ba ‐, a

C_{1} B_{1}

-gyel megegyező

C_{1} A_{2}

irányt

A_{2}

körül

B_{2} A_{2}

-be

α_{2} / 2 = α_{1} = 24^{\circ}

-os, az előbbivel ellentétes irányú forgás, így a keresett forgás nagysága

60 - 24^{\circ} = 36^{\circ}

, abban az irányban, amely

T_{0}

leghosszabb oldalát

α_{0}

forgással viszi át a nagyságra következő oldalába. Ezzel meghatároztuk

T_{2}

-nek

T_{0}

-hoz képest elfoglalt állását.
Ebből már röviden megkapjuk

T_{0}

negyedik talpponti háromszögének,

T_{4}

-nek

T_{0}

-hoz képest elfoglalt állását (3. ábra, amelyen

A_{2} B_{2} C_{2}

a 2. ábrabelihez képest eltolva és

2

-szeresre nagyítva látható), hiszen

T_{4}

T_{2}

-nek második talpponti háromszöge. Így

T_{4}

hasonló

T_{2}

-höz, tehát

T_{0}

-hoz is, és előállítható

T_{2}

-ből úgy, hogy ezt

36^{\circ}

-kal elforgatjuk abban az irányban, amely a leghosszabb oldalt

β_{2}

(azaz

α_{0}

) forgással viszi át a nagyságra második oldalába, majd tükrözzük a leghosszabb oldalára, végül állását megtartva kellő mértékben kicsinyítjük. ‐ A most mondott eljárásban a tükrözés és a forgatás sorrendjét felcseréltük, ez azonban nyilvánvalóan megengedett, a 3. ábrán az elforgatást az idom jele mellé tett vesszővel, a tükrözést ismét csillaggal jelöltük, és ‐ mint látjuk ‐

T_{2}^{*}' = T'_{2}^{*}

.
Eszerint

T_{4}

azonos állású

{T'}_{2}^{*}

-gal. Ez viszont azonos állású

T_{0}

-lal, hiszen leghosszabb oldalukra vonatkozó tükörképük,

T'_{2}

ill.

T_{0}^{*}

azonos állásúak, mert a fent mondott két forgatás

T_{0}

és

T_{2}

ellentétes irányú körüljárása miatt ellentétes irányú.
Mindezek szerint

T_{4}

T_{0}

-lal azonos állású.

Laborczi Zoltán (Budapest, Fővárosi Iskolaszanatórium g. II. o. t.)
Márkus András (Sopron, Széchenyi I. g. II. o. t.)

Megjegyzések. 1. A forgatások szögének meghatározása nem volt lényeges. Elég lett volna azt kimondani, hogy a két forgatás nagyságra nézve egyenlő, irányuk ellentétes.
2. Eredményünkből következik, hogy

T_{0}

-nak 8., 12., 16.,

...

talpponti háromszöge is megegyező állású az eredeti háromszöggel, továbbá hogy

T_{2}

T_{6}

T_{10}

...

, valamint

T_{1}

T_{5}

T_{9}

...

és

T_{3}

T_{7}

T_{11}

...

egymás közt ugyancsak egyező állású hasonló háromszögek (

T_{i}

i

-edik talpponti háromszög).

¹A gyakorlat kitűzésekor a szerkesztőség ajánlotta az 1252. feladat megoldásának elolvasását, K. M. L. 30 (1965) 7. o.

²Nem nehéz megmutatni, hogy a kicsinyítés aránya $1 : 4$ , ez azonban kérdésünk szempontjából lényegtelen.