Kezdőlap


Feladat:	964. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Perémy Gábor
Füzet:	1965/október, 62. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Műveletek polinomokkal, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/február: 964. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) A feltevés szerint van olyan $R$ és $S$ polinom, hogy $D \cdot R = P$ és $D \cdot S = Q$ . Ekkor $P + Q = D (R + S)$ , $P - Q = D (R - S)$ . Itt $R + S$ és $R - S$ polinomok, mert két polinomnak összege is, különbsége is polinom, ezért $P + Q$ is, $P - Q$ is valóban osztható $D$ -vel.
Az állításból könnyen következik megfordítása is: ha a $D$ polinom osztója a $T = P + Q$ és $U = P - Q$ polinomoknak, akkor osztója $P$ -nek és $Q$ -nak is.

Valóban

P = \frac{1}{2} T + \frac{1}{2} U

Q = \frac{1}{2} T - \frac{1}{2} U

és itt

\frac{1}{2} T

és

\frac{1}{2} U

is polinomok és oszthatók

D

-vel, mert ha

T = V \cdot D

és

U = W \cdot D

, ahol

V

és

W

polinom, akkor

\frac{1}{2} V

és

\frac{1}{2} W

is polinom.

b) Az adott racionális tört kifejezés

P

számlálójának és

Q

nevezőjének összegén és különbségén könnyen fölismerjük, hogy van közös polinom-osztójuk:

\begin{matrix} P + Q = T = 2 x^{3} + 4 x^{2} + 6 x = 2 x (x^{2} + 2 x + 3), \end{matrix}

\begin{matrix} P - Q = U = 6 x^{2} + 12 x + 18 = 6 (x^{2} + 2 x + 3), \end{matrix}

eszerint

x^{2} + 2 x + 3 = D

közös osztója

P

-nek és

Q

-nak is,

P = (x + 3) D

Q = (x - 3) D

, és a tört

D

-vel egyszerűsített alakja:

\begin{matrix} \frac{x + 3}{x - 3} = 1 + \frac{6}{x - 3} . \end{matrix}

Látjuk, hogy ez az alak tovább nem egyszerűsíthető.
(Az egyszerűsítő tényező

{(x + 1)}^{2} + 2

alakban írható, mindig pozitív, így az egyszerűsítés nem változtatta meg a tört értelmezési tartományát.)

Perémy Gábor (Budapest, Szilágyi E. g. I. o. t.)