Kezdőlap


Feladat:	963. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Szabados Katalin
Füzet:	1965/november, 124 - 125. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Szorzat, hatványozás azonosságai, Oszthatósági feladatok, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Szorzat, hatvány számjegyei, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/február: 963. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A hat alapú (vagy hatos) számrendszerben írt számoknak a tízes alapúban írtakétól való megkülönböztetésére előbbiek elejére, kitevő magasságba emelve és zárójellel elválasztva odaírjuk az alapszámot ( $10$ -es számrendszerben írva). Egy $N$ szám hatos számrendszerben való felírásán

\begin{matrix} N =^{6)} A_{k} A_{k - 1} ... A_{1} A_{0} = A_{k} \cdot 6^{k} + A_{k - 1} \cdot 6^{k - 1} + ... + & (1) \\ + A_{1} \cdot 6 + A_{0} = A_{k} \cdot^{6)} 10^{k} + A_{k - 1} \cdot^{6)} 10^{k - 1} + ... + A_{1} \cdot^{6)} 10 + A_{0} \end{matrix}

alakú előállítását értjük, ahol

0 \leq A_{i} \leq 5

(i = 0

1

...

k - 1

k)

; az

A_{i}

-k a szám hatos számrendszerbeli számjegyei.

\begin{matrix} Pl^{*}.^{6)}21 054=2\cdot6^{4}+1\cdot6^{3}+0\cdot6^{2}+5\cdot6+4=2832. \end{matrix}

N

ilyen felbontásában az utolsó tag kivételével a többiből kiemelhető

6

, az utolsó kettő kivételével a többiből

6^{2}

, az utolsó

3

tag kivételével

6^{3}

stb. Mivel

6

osztható

2

-vel,

3

-mal és

6

-tal, így

N

akkor osztható

2

-vel,

3

-mal, ill.

6 =^{6)} 10

-val, ha az utolsó jegye osztható vele, különben nem. Részletesebben:

N

akkor páros, ha utolsó jegye

0

2

vagy

4

, akkor osztható

3

-mal, ha utolsó jegye

0

vagy

3

, és akkor osztható

6

-tal, ha utolsó jegye

0

6^{2} = 36

osztható a fentieken kívül többek közt

4

-gyel és

9 =^{6)} 13

-mal. Így

N

osztható

4

-gyel, ill.

9

-cel, ha az utolsó két jegyével írt

^{6)} A_{1} A_{0}

szám osztható vele, különben nem. Hasonlóan

6^{3}

osztható

8 =^{6)} 12

-vel, így

N

osztható

8

-cal, ha

^{6)} A_{2} A_{1} A_{0}

osztható

8

-cal, különben nem. Ezek a szabályok a tízes számrendszerbeli

2

-vel,

5

-tel,

10

-zel;

4

-gyel,

25

-tel, ill.

8

-cal való oszthatósági szabályok megfelelői (és továbbiakkal volnának kiegészíthetők).

6

-nak bármely hatványát

5

-tel osztva a maradék

1

, mert két egyenlő kitevőjű hatvány különbsége osztható az alapok különbségével:

\begin{matrix} a^{n} - b^{n} = (a - b) \cdot (a^{n - 1} + a^{n - 2} \cdot b + ... + a \cdot b^{n - 2} + b^{n - 1}) . \end{matrix}

(2)

Eszerint

6^{n} - 1 = 6^{n} - 1^{n} = 5 \cdot K

6^{n} = 5 \cdot K + 1

, ahol

K

egész (a második zárójelbeli összeg értéke, ha

a = 6

b = 1

). Így (1)-nek

A_{n} \cdot 6^{n} = A_{n} \cdot 5 \cdot K + A_{n}

tagja

5

-tel osztva ugyanannyi maradékot ad, mint

A_{n}

(

A_{n}

-t, ha

A_{n} < 5

0

-t, ha

A_{n} = 5

N

osztási maradéka tehát annyi, mint számjegyeinek összegéé,

A_{k} + A_{k - 1} + ... + A_{1} + A_{0}

-é. Eszerint

N

osztható

5

-tel, ha (hatos számrendszerbeli) számjegyeinek összege osztható vele, különben nem. (Ez a tízes számrendszerbeli

9

-es és

3

-as oszthatósági szabály megfelelője.)
Mivel

d = 10 = 2 \cdot 5

, és itt a tényezők relatív primek, azért

N

akkor és csak akkor osztható

10 =^{6)} 14

-gyel, ha

5

-tel is,

2

-vel is osztható, azaz ha jegyeinek összege osztható

5

-tel, és utolsó jegye páros.
Hátra van még

d = 7

. A

6

hatványait

7

-tel osztva a maradék váltakozva

6

és

1

\begin{matrix} 6 = 0 \cdot 7 + 6, 6^{2} = 5 \cdot 7 + 1, 6^{3} = 6 \cdot 5 \cdot 7 + 6 = 30 \cdot 7 + 6, \\ 6^{4} = 6 \cdot 30 \cdot 7 + 6^{2} = 185 \cdot 7 + 1, ..., \end{matrix}

általában

6^{2 l} - 1^{2 l}

és

6^{2 l + 1} - 6 = 6 (6^{2 l} - 1)

osztható a (2) azonosság alapján

6^{2} - 1 = 5 \cdot 7

-tel, tehát

7

-tel is. A

6

maradékot célszerűbb

7 - 1

-nek írni: így

6 = 1 \cdot 7 - 1

6^{3} = 31 \cdot 7 - 1

, és

6

minden páratlan kitevőjű hatványa

1

-gyel kisebb egy

7

-tel osztható számnál. ^{$^{*}$} Így

\begin{matrix} N = 7 \cdot L + A_{k} \cdot {(- 1)}^{k} + A_{k - 1} \cdot {(- 1)}^{k - 1} + ... + A_{2} - A_{1} + A_{0} = \\ = 7 \cdot L + (A_{0} + A_{2} + ...) - (A_{1} + A_{3} + ...) . \end{matrix}

Eszerint azok és csak azok a számok oszthatók

7 =^{6)} 11

-gyel, amelyekben a jobbról számítva páratlan^{$^{*}$}sorszámú jegyek összegéből levonva a páros sorszámúak összegét, a különbség osztható 7-tel. (Ez megegyezik a tízes számrendszer

11

-re vonatkozó oszthatósági szabályával.)

Szabados Katalin (Budapest, Berzsenyi D. g. I. o. t.)

^{$^{*}$}Kiolvasásnál nem célszerű a tízes számrendszerre vonatkozó ,,tíz'', ,,száz'', ,,ezer'' stb. elnevezéseket használni, hanem egyszerűen ,,(hat alapú) kettő-egy-nulla-öt-négy''-nek olvasni ki.

^{$^{*}$}Ez közvetlenül is belátható az

\begin{matrix} a^{2 l + 1} - b^{2 l + 1} = (a + b) (a^{2 l} - a^{2 l - 1} b + ... + a^{2} b^{2 l - 2} + a b^{2 l - 1} + b^{2 l} \end{matrix}

azonosság alapján.

^{$^{*}$}Ez ugyanaz, mint a páros indexű, mivel $0$ -tól kezdtük az indexezést.