Kezdőlap


Feladat:	962. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Szeredi Péter
Füzet:	1966/január, 4 - 5. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletek grafikus megoldása, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Fizikai jellegű feladatok, Szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/február: 962. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Válasszuk hosszúságegységnek a gyertyák közös hosszát. Az $A$ gyertya óránként $1 / 3$ egységnyivel rövidül, a $B$ gyertya óránként $1 / 5$ egységnyivel, így hosszuk $t$ óra elteltével (ha $0 \leq t \leq 3)$ $1 - t / 3$ , ill. $1 - t / 5$ egység. Hosszaik arányát $1 : k$ -val jelölve

\begin{matrix} \frac{1 - t / 3}{1 - t / 5} = \frac{15 - 5 t}{15 - 3 t} = \frac{1}{k}, amiből t = \frac{15 k - 15}{5 k - 3}, \end{matrix}

és így a fényképfelvétel kérdéses időpontja rendre

\begin{matrix} k = 2 esetén & t_{2} = 15 / 7 óra \approx 2 óra 9 perc, \\ k = 3 esetén & t_{3} = 30 / 12 óra = 2 óra 30 perc, \\ k = 4 esetén & t_{4} = 45 / 17 óra \approx 2 óra 39 perc . \end{matrix}

Tegyük fel, hogy a korábban meggyújtott gyertya

A

-minőségű volt. Ekkor a hossza a másik gyertya meggyújtásáig

(^{1} /_{2}) : 3 = 1 / 6

egységgel, azaz

5 / 6

-ra rövidült, és így, az időt tovább a második gyertya meggyújtásától mérve, a fenti számítás csak annyiban módosul, hogy

1 - t / 3

helyére

5 / 6 - t / 3 = (5 - 2 t) / 6

lép:

\begin{matrix} \frac{(5 - 2 t) / 6}{1 - t / 5} = \frac{1}{k} -ból t = \frac{25 k - 30}{10 k - 6}, és így \\ t'_{2} = \frac{20}{14} \approx 1^{h} 26^{m}, t'_{3} = \frac{45}{24} \approx 1^{h} 53^{m}, t'_{4} = \frac{70}{34} \approx 2^{h} 4^{m} . \end{matrix}

Ha először a

B

-minőségű gyertyát gyújtották meg, akkor ennek hosszát, mint a második gyertya meggyújtásától eltelt

t

idő függvényét a

9 / 10 - t / 5 = (9 - 2 t) / 10

kifejezés adja meg, ugyanis az első félóra alatt

1 / 10

része égett el. Ezt írva az első számításban,

1 - t / 5

helyére

\begin{matrix} \frac{1 - t / 3}{(9 - 2 t) / 10} = \frac{1}{k} -ból t = \frac{30 k - 27}{10 k - 6}, és így \\ t''_{2} = \frac{33}{14} \approx 2^{h} 21^{m}, t''_{3} = \frac{63}{24} \approx 2^{h} 38^{m}, t''_{4} = \frac{93}{34} \approx 2^{h} 44^{m} . \end{matrix}

(Nem lehetséges, hogy a későbben meggyújtott

A

-minőségű gyertya hossza legyen a másiknak a 2-szerese, mert a meggyújtáskor

10 : 9

az arányuk, és ez csak csökken, már

^{3} /_{4}

óra múlva beáll a

k = 1

értékhez tartozó egyenlőség.)

II. Jelöljük a két gyertya hosszát is, mint az idő függvényét

A

-val, ill.

B

-vel; így egyszerre történt meggyújtás esetén

A = 1 - t / 3

B = 1 - t / 5

, és a két függvényt az ábra egyenesszakaszai ábrázolják, amíg értékük 1-ről 0-ra csökken. A kérdezett időpontokban

A = B / k

, ezért berajzoljuk a

B

-gyertya hosszának felét, harmadát, negyedét megadó

B / 2

B / 3

B / 4

függvény képét is, és leolvassuk ezeknek az

A

függvény képével való metszéspontjához tartozó idő‐értéket, hiszen a metszéspont, a közös pont, azt fejezi ki, hogy abban a pillanatban az

A

és a

B / k

függvény értéke egyenlő.
A második esetben az

A

grafikon előre tolódik

^{1} /_{2}

órával, a harmadik esetben pedig a

B

grafikon, és ekkor természetesen a három berajzolt

B / k

grafikon is előre tolódik, az idő leolvasása ugyanúgy történik. Az ábrán az

A

grafikont toltuk hátra

^{1} /_{2}

órával, és fönt újra skáláztuk az idő‐tengelyt.

Szeredi Péter, (Budapest, Rákóczi F. Gimn., II. o. t.)