Kezdőlap


Feladat:	959. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Horváth Sándor
Füzet:	1965/október, 59 - 60. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Húrnégyszögek, Sokszögek szerkesztése, Síkgeometriai szerkesztések, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/január: 959. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) A szabályos $12$ -szög külső szöge $360^{\circ} / 12 = 30^{\circ}$ , így belső szöge $150^{\circ}$ , tehát az adott szögek megfelelnek. Legyen az $A B C$ és $B C D$ szögek felezőinek metszéspontja $O$ . Így $O B C ∢ = O C B ∢ = 75^{\circ}$ , ezért $O B = O C$ , és $B O C ∢ = 30^{\circ}$ , továbbá $O A B △ ≃ O B C △ ≃ O C D △$ , és ezért $O A = O B = O D$ , és $A O D ∢ = 90^{\circ}$ .
Ennélfogva az $A B C D$ négyszöget $O$ körül egymás után 3-szor $90^{\circ}$ -kal elforgatva $A$ a $D$ -be, majd $D$ újabb helyzeteibe kerül, $G$ -be, ill. $K$ -ba, $D$ pedig harmadszorra $A$ -ba, egyszersmind $B$ -nek és $C$ -nek újabb $E$ , $H$ , $L$ , ill. $F$ , $J$ , $M$ helyzetei mind az $O$ körüli, $O A$ sugarú körön vannak, tehát az egyenlő oldalú $A B C D E F G H J K L M$ tizenkétszög szabályos sokszög.

A O C ∢ = 2 \cdot B O C ∢ = 60^{\circ}

, így

A C O

egyenlő oldalú háromszög, és

O

pusztán körzővel is szerkeszthető, mint az

A

és

C

körül

A C

sugárral írt

k_{1}

k_{2}

körök metszéspontja. Ezután az

O

körüli,

A C

sugarú

k_{3}

kör a szabályos 12-szög körülírt köre, és ez

k_{1}

-et

L

-ben,

k_{2}

-t

E

-ben metszi másodszor. A hátra levő 6 csúcs 3 körrel kimetszhető

k_{3}

-ból, körzőnyílásba

L D

-t véve, ami a 12-szög csökkenően rendezett átlói sorozatában a második átló. Középpontnak

A

-t,

B

-t, végül

E

-t véve egymás után az

F

H

, a

G

J

és a

K

M

csúcs-párokat kapjuk. ‐ 6 kört használtunk fel, és a körzőnyílást egyszer változtattuk.

Megjegyzések. 1. Az utolsó 3 kör meglehetősen laposan metszi

k_{3}

-at, ami a gyakorlatban a szerkesztést pontatlanná teheti. Kedvezőbb metszésekkel kapjuk a hátra levő 6 csúcsot

A E

sugarú köröket írva, így azonban összesen 7 kört használunk fel, a további középpontok

A

B

C

D

.
2.

k_{3}

előállítása után a körzőnyílást nem változtatva mind a 6 hátra levő csúcs kijelöléséhez külön kör kellett volna, vagyis 9 kör.

Horváth Sándor (Budapest, I. István g. I. o. t.)