|
Feladat: |
958. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 14-15 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Ambrus G. , Antos P. , Babai L. , Balázs Katalin , Bulkai T. , Eszes G. , Farkas Ágnes , Feldusz M. , Grósz T. , Halász F. , Havas J. , Kugler S. , Laborci Z. , Marossy F. , Mérő L. , Nagy Béla , Pataki Judit , Péli Katalin , Rajczy P. , rátky Gy. , Sas Éva , Szabados Katalin , Szeredi P. , Szikora J. , Szolga B. , Szűcs A. , Tátray P. , Tegze Judit , Újvári István , Verbényi Márta |
Füzet: |
1965/október,
58 - 59. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, Derékszögű háromszögek geometriája, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Pont, Téglalapok, Deltoidok, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1965/január: 958. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. a) Az , , pontok szerkesztésekor keletkező merőleges szárú szögek, ill. a szögfelezés révén következik ‐ amennyiben megmutatjuk, hogy a fellépő szögek hegyesszögek ‐, hogy s így az háromszög egyenlő szárú.
A négy szög közül a középső kettő hegyesszög fele, s így hegyesszög. A másik kettő hegyesszög voltához azt mutatjuk meg, hogy tompaszög, éspedig az derékszögű háromszög hegyesszögének kiegészítő szöge. Jelöljük és metszéspontját -val. Ha az háromszögben van, akkor és tompaszög, mert mindkettő hegyesszög mellékszöge, így a egyenes -n túli és -nek az -en túli meghosszabbításán van. Ugyancsak tompaszög volta miatt, és mert merőleges -ra, is a -n túli meghosszabbításán van. Mivel , és , mint csúcsszöge, hegyesszög, így a derékszögű szögtartományban halad, tehát a , , , pontok ebben a sorrendben következnek, tehát az mellékszöge. Ha az háromszögön kívül, tehát -nak a -n túli meghosszabbításán van, akkor az háromszög oldalszakaszát és az oldal meghosszabbítását metsző egyenes metszi a oldalszakaszt. Másrészt hegyesszög, így az -re állított merőleges is a -ból felé menő félegyenest metszi, és mivel hegyesszög, a derékszögű szögtartományban halad. Így most is és közt van, tehát a szög mellékszöge. Ezzel a bizonyítást befejeztük. b) Ha egybeesik -vel, akkor , s így ; másrészt e három szög összege , így mindegyik -os és . Ebben az esetben az elfajul ponttá.
Szabados Katalin (Budapest, Berzsenyi D. g. I. o. t.)
II. megoldás. a) Jelöljük és metszéspontját -val, -ból az -re bocsátott merőleges talppontját -val. Ekkor egyenlő szárú háromszög, mert , mint a szögfelező pontja, egyenlő távolságra van a szög két szárától: . Ekkor deltoid, és átlói merőlegesek. Így , (merőlegesek -re, ill. -re) és (egy egyenesen vannak). Az oldalai tehát párhuzamosak a megfelelő oldalaival, s így a két háromszög hasonló, tehát az is egyenlő szárú. b) és akkor és csak akkor esik egybe, ha és egybeesik. Ekkor a átló fele, s így deltoid volta miatt , tehát szabályos háromszög, .
Megjegyzés. A b) kérdés tárgyalható számítás útján is Pythagoras tétele és a szögfelezőre vonatkozó osztásarány-tétel felhasználásával. Legyen , , . Az és -ek hasonlóságából . Az osztás-arányból . Egyenlőségükből | | így , egy szabályos háromszög fele, . |
|