Kezdőlap


Feladat:	957. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Arányi P. , Babai L. , Balázs Katalin , Bárány I. , Batta L. , Bod Judit , Boronkay L. , Darvas Gy. , Domokos L. , Domokos Zsuzsanna , Eff L. , Gellért J. , Kafka P. , Kloknicer I. , Kugler S. , Laborczi Z. , Medgyesy K. , Moson P. , Óhegyi E. , Sipos L. , Sólymos L. , Steiner Gy. , Szeidl L. , Szücs A. , Tegze Judit , Till L. , Vizvári B.
Füzet:	1965/november, 121 - 122. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevező gyöktelenítése, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/január: 957. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Beszorzással és átrendezéssel

\begin{matrix} x = \frac{(\sqrt[]{6} + \sqrt[]{2}) - (\sqrt[]{5} + \sqrt[]{3})}{(\sqrt[]{6} - \sqrt[]{2}) + (\sqrt[]{5} - \sqrt[]{3})}, \end{matrix}

és itt a nevező nyilvánvalóan pozitív. Szorozzuk a számlálót és a nevezőt a nevezőbeli két zárójeles kifejezés különbségével:

\begin{matrix} x = \frac{4 - 2 \sqrt[]{30} + 2 \sqrt[]{6} + 2}{(8 - 2 \sqrt[]{12}) - (8 - 2 \sqrt[]{15})} = \frac{3 - \sqrt[]{30} + \sqrt[]{6}}{\sqrt[]{15} - \sqrt[]{12}} = \frac{\sqrt[]{3} - \sqrt[]{10} + \sqrt[]{2}}{\sqrt[]{5} - 2}, \end{matrix}

majd tovább

\sqrt[]{5} + 2

-vel:

\begin{matrix} x = \sqrt[]{15} - 3 \sqrt[]{2} - \sqrt[]{10} + 2 \sqrt[]{3} = \sqrt[]{15} + \sqrt[]{12} - (\sqrt[]{18} + \sqrt[]{10}) . \end{matrix}

(1)

A tizedes alak előírt pontosságú kiszámításához tudnunk kell

x

első értékes számjegyének helyi értékét. Az iskolai négyjegyű függvénytáblázat szerint ezredrészre kerekítve

\begin{matrix} \sqrt[]{15} \approx 3, 873, \sqrt[]{12} \approx 3, 464, \sqrt[]{18} \approx 4, 243, \sqrt[]{10} \approx 3, 162, \end{matrix}

(2)

ezekből

x \approx - 0, 068

. Mind a négy kerekítés hibája kisebb

0, 0005

-nél, ezért

x

hibája kisebb

4 \cdot 0, 0005 = 0, 002

-nél, tehát

x

első értékes jegyének helyi értéke

1 / 100

. ‐ Így

x

-nek az

1 / 1000

és

1 / 10 000

helyi értékű számjegyét kell még megállapítanunk, más szóval

x

-et

4

tizedes jegyre kerekítve kell kiszámítanunk.
Megmutatjuk, hogy az elérendő pontossághoz (ebben a példában) elég az (1)-beli négyzetgyökök

5

-jegyű alsó közelítő értékeit megállapítani. A négyzetgyökvonás ismert eljárása szerint

\begin{matrix} \sqrt[]{15} = 3, 872 98 ..., & \sqrt[]{12} = 3, 464 10 ..., \\ \sqrt[]{18} = 4, 242 64 ..., & \sqrt[]{10} = 3, 162 27 ..., \end{matrix}

így (2) egyes tagjaira fennállanak a következő egyenlőtlenségek:

\begin{matrix} {\begin{matrix} 3, 872 98 < \sqrt[]{15} < 3, 872 99, \\ 3, 464 10 < \sqrt[]{12} < 3, 464 11, \\ - 4, 242 65 < - \sqrt[]{18} < - 4, 242 64, \\ - 3, 162 28 < - \sqrt[]{10} < - 3, 162 27. \end{matrix} \end{matrix}

(3)

Ezek összeadásával

\begin{matrix} - 0, 067 85 < x < - 0, 067 81. \end{matrix}

Ennek a kettős egyenlőtlenségnek eleget tevő minden szám

4

tizedesjegyre kerekített értéke

- 0, 0678

, tehát ez az

x

keresett értéke.
Tegze Judit (Budapest, Kölcsey F. g. I. o. t.)

Megjegyzés. Az

x

-re kapott (1) kifejezést szorzattá alakítjuk. Ezután ,,a számlálót gyöktelenítve'', majd újra beszorozva:

\begin{matrix} x = - (\sqrt[]{6} - \sqrt[]{5}) (\sqrt[]{3} - \sqrt[]{2}) = - \frac{1}{(\sqrt[]{6} + \sqrt[]{5}) (\sqrt[]{3} + \sqrt[]{2})} = \\ = - \frac{1}{\sqrt[]{18} + \sqrt[]{15} + \sqrt[]{12} + \sqrt[]{10}} . \end{matrix}

Itt a (2) adatokat

0, 0005

-del csökkentve, ill. növelve a (3)-hoz hasonlóan kapjuk, hogy a nevező

14, 740

és

14, 744

közé esik,

x

pedig ezek negatív reciproka:

- 0, 067 843

és

- 0, 067 824

közé (az első lefelé, a második felfelé kerekítve), így három értékes jegyre

x = - 0, 0678