Kezdőlap


Feladat:	956. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bulkai Tamás , Kósa Márton , Kövesdi Gyula
Füzet:	1965/november, 119 - 121. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Determinánsok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/január: 956. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. A definíció szerint kiszámítva (2) értékét, összevonások és kiemelések után szorzattá alakítható:

\begin{matrix} D & = (a e + b g) (c f + d h) - (c e + d g) (a f + b h) = \\ = a d e h + b c f g - a d f g - b c e h = a d (e h - f g) + b c (f g - e h) = & (4) \\ = (a d - b c) (e h - f g), \end{matrix}

\begin{matrix} D = | \binom{a}{c} \binom{b}{d} | \cdot | \binom{e}{g} \binom{f}{h} | . \end{matrix}

(5)

II. Ez az előállítás nyilvánvalóan nem az egyetlen lehetséges, hiszen a szorzat kommutatív volta miatt már maga (1) is többféleképpen írható másodrendű determináns alakjában, pl.:

\begin{matrix} a d - b c = | \binom{a}{b} \binom{c}{d} | = | \binom{d}{c} \binom{b}{a} | = | \binom{d}{b} \binom{c}{a} | = - | \binom{b}{d} \binom{a}{c} |, \end{matrix}

(6)

amint az könnyen ellenőrizhető.
Az (5) alatti második tényezőt tükrözve a jobbra lejtő átlóra, az ún. főátlóra

\begin{matrix} D = | \binom{a}{c} \binom{b}{d} | \cdot | \binom{e}{f} \binom{g}{h} | . \end{matrix}

(7)

A jobb oldalból a (2) első sorának és első oszlopának közös mezején álló elem (az első sor első eleme) úgy keletkezik, hogy mindkét tényező első sorát vesszük, összeszorozzuk az első elemeket, a második elemeket és a szorzatokat összeadjuk. Ezt úgy fogjuk röviden mondani, hogy komponáljuk a két determináns első sorát. Hasonlóan a (2) szorzatdetermináns első sorának másik elemét (7) első tényezője első sorának és második tényezője második sorának kompozíciója adja. A szorzat második sorát az első tényező második sorának a második tényező első, ill. második sorával való kompozíciója adja.
Ha (2)-t (5)-tel hasonlítjuk össze, azt kapjuk, hogy a szorzat azzal a determinánssal is egyenlő, amelynek egy-egy eleme kiszámításához az első tényezőből az annyiadik sort és a másodikból az annyiadik oszlopot választjuk ki, ahányadik sorban, illetőleg oszlopban a kiszámítandó elem áll, és ezeket komponáljuk.
Hasonlóan az első tényező oszlopait a második soraival, vagy mind a két tényezőből az oszlopokat komponálva is kaphatunk olyan determinánst, aminek értéke a két tényező szorzatával egyenlő.

III. Most már a két tényezőt (6) alapján más determináns alakba írva, majd a szorzat-determinánst sor ‐ sor. ill sor ‐ oszlop kompozícióval képezve

\begin{matrix} D = | \binom{a}{b} \binom{c}{d} | \cdot | \binom{h}{g} \binom{f}{e} | & = | \binom{a h + c f}{b h + d f} \binom{a g + c e}{b g + d e} | = \\ = | \binom{a h + c g}{b h + d g} \binom{a f + c e}{b f + d e} | . \end{matrix}

A főátló elemeinek szorzatából kivonva a másik átló elemeinek szorzatát ‐ röviden a determináns kifejtése útján ‐ mindkét alakból (4)-re jutunk.

IV. A (3) szorzat mindegyik tényezője írható másodrendű determinánsként. Előbb az első, majd a második szorzás eredményét sor ‐ oszlop kompozícióval másodrendű determinánssá alakítva:

\begin{matrix} | \binom{a}{d} \binom{c}{b} | \cdot | \binom{k}{n} \binom{m}{l} | \cdot | \binom{x}{z} \binom{v}{y} | = | \binom{a k + c n}{d k + b n} \binom{a m + c l}{d m + b l} | \cdot | \binom{x}{z} \binom{v}{y} | = \\ = | \binom{a k x + c n x + a m z + c l z}{d k x + b n x + d m z + b l z} \binom{a k v + c n v + a m y + c l y}{d k v + b n v + d m y + b l y} | . \end{matrix}

Ugyanezt a determinánst kapjuk, ha az első tényezőt a második és a harmadik tényező szorzatával ugyanezen előírás szerint számítjuk. Ha azonban sor‐sor szorzást alkalmazunk, akkor a kétféle csoportosítás már más-más alakban adja a szorzatot.

V. Más elgondolás alapján is átírhatjuk (3)-at. Jelöljük a 2. és a 3. tényező értékét

K

-val, ill.

X

-szel.

\begin{matrix} K X = K | \binom{x}{v} \binom{z}{y} | = K (x y - z v) & = (K x) y - (K z) v = | \binom{K x}{v} \binom{K z}{y} |, \\ = (K x) y - (K v) z = | \binom{K x}{K v} \binom{z}{y} | . & (8) \end{matrix}

Eszerint egy másodrendű determinánsnak ‐ itt

X

-nek ‐ egy

K

számmal való szorzata egyenlő egy olyan másodrendű determinánssal, melynek egyik sora vagy oszlopa

X

megfelelő sorának, ill. oszlopának a

K

-szorosa, a másik sora, ill. oszlopa pedig megegyezik

X

megfelelő sorával, ill. oszlopával.
Eszerint a (3) kifejezés is többféleképpen írható másodrendű determináns alakban, pl. (7) és (8) felhasználásával így:

\begin{matrix} | \binom{a}{d} \binom{c}{b} | \cdot | \binom{K x}{K v} \binom{z}{y} | = | \binom{K a x + K c v}{a z + c y} \binom{K d x + K b v}{d z + b y} | . \end{matrix}

Két más lehetséges alak a sok közül a következő:

\begin{matrix} | \binom{a}{d} \binom{c}{b} | \cdot K \cdot X = | \binom{X a}{K d} \binom{X c}{K b} | = | \binom{K X a}{K d} \binom{X c}{b} | . \end{matrix}

Bulkai Tamás (Győr, Benedek-rendi Czuczor G. g. I. o. t.)

Kósa Márton (Budapest, Kandó K. hír. ip. t. II. o. t.)

Kövesdi Gyula (Budapest, Bem J. g. III. o. t.)