Kezdőlap


Feladat:	954. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tolnay-Knefély Tibor
Füzet:	1965/október, 56 - 57. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú diofantikus egyenletek, Szorzat, hatvány számjegyei, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/január: 954. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $\bar{A B C D E} = x^{2}$ , és $\bar{E B C D A} = y^{2}$ , ahol $A < E$ , így $x < y$ . Az első egyenlőséget a másodikból kivonva

\begin{matrix} (10^{4} - 1) (E - A) = 3^{2} \cdot 11 \cdot 101 (E - A) = (y - x) (y + x) . \end{matrix}

(1)

E

és

A

négyzetvégződések, és

A > 0

, így értékük 1, 4, 5, 6 és 9 közül kerül ki, tehát

E - A

értéke az 1, 2, 3, 4, 5 és 8 számok valamelyike.
Másrészt

x

és

y

kisebb a legkisebb 6-jegyű szám, és nagyobb a legkisebb 5-jegyű szám négyzetgyökénél:

100 < x < y \leq 316

, így

y + x \leq 631

y - x \leq 215

.
(1) jobb oldala többszöröse 101-nek, ezért vagy

y + x

többszöröse neki, legfeljebb a 6-szorosa, vagy

y - x = 101 k

, ahol

k = 1

vagy 2.
Válasszuk meg az eddigi korlátozások között

E - A

értékét, bontsuk fel (1) bal oldalát két tényezőre, a kisebbet

y - x

-szel, a nagyobbat

y + x

-szel egyenlővé téve számítsuk ki

x

-et és

y

-t, és vizsgáljuk meg minden esetben, eleget tesznek-e az összes követelményeknek.

x

a két tényező (pozitív) különbségének a fele, csak akkor 3-jegyű, ha a különbség legalább 200.

E - A = 1

esetén a bal oldal szóba jövő felbontásai:

99 \cdot 101

és

33 \cdot 303

, amiből

x = 1

, ill.

x = 135

, az utóbbi sem felel meg, mert négyzetében nem minden jegy különböző.
Nem lehet

E - A = 2

, mert különben

y - x

és

y + x

egyike páros, másika páratlan, és így

x

y

nem egészek.

E - A = 3

esetén (1) bal oldala

297 \cdot 101 = 99 \cdot 303

. Elég az utóbbit vizsgálni, de az adódó

x^{2} = 102^{2}

-ben két 0-jegy lép fel.

E - A = 4

esetére mindkét tényezőnek párosnak kell lennie, így az

E - A = 1

eset eredményeinek 2-szereseit kapjuk, azonban

x = 270

nem felel meg, mert négyzete két egyenlő jegyre végződik.

E - A = 5

esetén

495 \cdot 101

-ből

x^{2} = 197^{2} = 38 809

, nem felel meg;

505 \cdot 99

-ből

x = 203

y = 302

, négyzetük 41 209, ill. 91 204, megfelelnek.
Végül

E - A = 8

csak

E = 9

A = 1

-ből adódhat, így

y \geq 301

és

x \leq 141

, ezért

y - x \geq 160

, és (1) bal oldala tényezői különbségének legalább 320-nak kell lennie. Egyetlen ilyen felbontása

606 \cdot 132

, de innen

y^{2}

hatjegyűnek adódik.
Más lehetőség nincs, így csak 41 209 és 91 204 felelnek meg.
Tolnay-Knefély Tibor (Budapest, Bláthy O. vill. ip. t. II. o. t.)