Kezdőlap


Feladat:	953. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Babai L. , Dobozy O. , Eff L. , Faragó T. , Fencsik G. , Gáspár A. , Horváth Rozália , Horváth S. , Klinkó Sándor , Major Péter , Szalay S. , Szeredi P. , Szűcs I. , Takács L. , Vörös T. , Wittmann A.
Füzet:	1965/október, 55 - 56. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kombinatorikus geometria síkban, Kombinatorikai leszámolási problémák, Terület, felszín, Négyzetrács geometriája, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/december: 953. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A hálózat egymással párhuzamos egyenesei közül 9‐9 metszi, 2‐2 érinti a kört, mindezen egyeneseket befutva a körrel $2 \cdot 9 \cdot 2 + 2 \cdot 2 \cdot 1 = 40$ közös pontot számlálunk össze. Ezek közül azonban több egybeesik, ahol ugyanis 2‐2 hálózati egyenes a körön metszi egymást. Ilyen az a 4 pont, amelyben egy hálózati egyenes érinti a kört, mert a ponthoz tartozó sugár is hálózati egyenes; továbbá az a 8 pont, amelyen az egyik irányban a középponton átmenőtől számított harmadik, a másik irányban a negyedik hálózati egyenes megy keresztül (ugyanis $3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$ ). Eszerint a hálózati egyenesek 28 különböző pontban metszik a kört, ezek a körvonalat 28 ívre osztják. Minden ív kettévágja a hálózat egy elemi négyzetét, tehát a kérdéses idomok száma 56.

A területszámításban elég a kettévágott elemi négyzeteknek pl. a körön kívüli részét tekinteni, közülük is a szimmetriák miatt csak az ábra

A B' B

B B' C' C

C C' D' D

D E'' E

idomainak

t_{1}

t_{2}

t_{3}

t_{4}

területét meghatározni. Ki kell számítanunk az

A O B

A O C

A O D

és

A O E

szögeket és a

B B'

C C'

szakaszokat.

\begin{matrix} sin α_{1} & = 1 / 5 -ből α_{1} \approx 11, 54^{\circ}, továbbá B B' = 5 - \sqrt[]{24} \approx 0, 101; \\ sin α_{2} & = 2 / 5 -ből α_{2} \approx 23, 58^{\circ}, továbbá C C' = 5 - \sqrt[]{21} \approx 0, 417; \\ sin α_{3} & = 3 / 5 -ből α_{3} \approx 36, 87^{\circ}, és α_{4} = 90^{\circ} - α_{3} \approx 53, 13^{\circ} . \end{matrix}

Ezekkel az

A B' B

A C' C

A D' D

A E' E

idom területe rendre egy trapéz és egy körcikk területének különbségeként adódik,

t_{2}

t_{3}

t_{4}

pedig további kivonással:

\begin{matrix} t_{1} = A B' B = O A B' B - O A B = \frac{10 - \sqrt[]{24}}{2} - \frac{5^{2} π α_{1}}{360^{\circ}} \approx \\ \approx 5 - \sqrt[]{6} - 0, 2182 α_{1} \approx 0, 034 {cm}^{2}; \\ t_{1} + t_{2} = A C' C = O A C' C - O A C = 10 - \sqrt[]{21} - 0, 2182 α_{2} \approx \\ \approx 0, 273, így t_{2} \approx 0, 239; \\ t_{1} + t_{2} + t_{3} = 9 - 0, 2182 α_{3} \approx 0, 956, t_{3} \approx 0, 683; \\ t_{1} + t_{2} + t_{3} + t_{4} + 1 = 14 - 0, 2182 α_{4} \approx 2, 409, t_{4} \approx 0, 453. \end{matrix}

Így a kettévágott hálózati négyzetek körön belüli részének területe rendre

0, 966

0, 761

0, 317

, ill.

0, 547 {cm}^{2}

, ezredrészre kerekítve.

Klinkó Sándor (Nagykőrös, Arany J. g. II. o. t.)