Feladat: 952. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Bernus Péter ,  Gunda Tamás ,  Langer Tamás 
Füzet: 1965/november, 118 - 119. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek egybevágósága, Tengelyes tükrözés, Középpontos tükrözés, Háromszögek nevezetes tételei, Középvonal, Súlyvonal, Súlypont, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1964/december: 952. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. D-nek A-ra való E tükörképe harmadolja az AB oldalt. Így BE kétszer akkora, mint AE, arányuk a feltevés első része szerint éppen egyenlő BC és AC arányával, ezért CE az ACB szög felezője.

 
 

A feltevéseket ismét felhasználva A-nak a szögfelezőre való F tükörképe felezi a BC oldalt, másrészt E felezi a BD szakaszt, ezért FE a BCD háromszög CD-vel párhuzamos középvonala. Így
CD=2FE=2AE=2AD,
ezt kellett bizonyítanunk.
 
 Bernus Péter (Budapest, Fazekas M. g. I. o. t.)
 

Megjegyzés. Az utolsó lépésben így is okoskodhatunk: CD és EF párhuzamos voltát és a tükrözést tekintetbe véve
DCE∢=CEF∢=CEA∢=CED∢,
a CDE háromszög egyenlő szárú, CD=ED=2AD.
 
Gunda Tamás (Debrecen, Kossuth L. gyak. g. II. o. t.)
 

II. megoldás. Kössük össze CD-nek G felezőpontját D-nek A-ra való E tükörképével. Ekkor CA és EG a CDE háromszög súlyvonalai, ezért S metszéspontjuk e háromszög súlypontja.
E felezi a DB szakaszt, mert DE=2DA=2AB/3=EB, így GE, mint a BCD háromszög BC oldalával párhuzamos középvonala, fele akkora, mint BC, tehát egyenlő CA-val.
Így a CDE háromszög mondott súlyvonalai egyenlők, a súlypont harmadoló tulajdonsága miatt SA=SG, SE=SC, az SAE és SGC háromszögek egybevágók, ennélfogva AE=GC, és 2AE=2AD=2GC=DC, az állításnak megfelelően.
 
Langer Tamás (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. II. o. t.)
 

Megjegyzés. Mellőzhetjük az S pont felhasználását, ha itt is kimondjuk CE szögfelező voltát. Ekkor CEG∢=ECB∢=ECA∢, az ACE és CEG háromszögek egybevágók, tehát AE=GC.