Kezdőlap


Feladat:	948. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fencsik Gábor , Fövényesi Ildikó
Füzet:	1965/október, 52 - 53. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paraméteres egyenlőtlenségek, Egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/december: 948. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A bizonyítandó állítás szemléletes jelentése az, hogy a számegyenes origójából kiindulva és egymás után $x$ hosszúságú szakaszokat felmérve ‐ legalább egyszer belelépünk a 4/3 és 2 számokat ábrázoló pontok közti szakaszba, esetleg éppen a szakasz jobb oldali végpontjába. Ez magától értetődő akkor, ha $x$ nem nagyobb, mint a szakasz hossza, azaz 2/3.
Ha mármost $2 / 3 < x \leq 1$ , akkor $4 / 3 < 2 x \leq 2$ , vagyis a $k = 2$ érték ebben az esetben is megfelel. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.
Visszatérve az $x \leq 2 / 3$ esetre, az is nyilvánvaló, hogy a megfelelő $k$ értékek számát az az egész szám adja meg, ahányszor az $x$ hosszúságú szakasz megvan a vizsgált szakasz 2/3 hosszában, vagyis $[3 x / 2]$ . (Szögletes zárójellel szokás jelölni azt a legnagyobb egész számot, amely még nem nagyobb a zárójelben levő számnál; rövidebb elnevezéssel a szám egész részét.)
Fövényesi Ildikó (Miskolc, Ipari Szakközépisk. II. o. t.)

II. megoldás. A feltevés miatt

1 / x

az 1-nél nem kisebb pozitív szám, így két szomszédos pozitív egész szám közé esik, esetleg egyenlő a kisebbikkel. E két szám kisebbikét

a

-val jelölve

\begin{matrix} a \leq \frac{1}{x} < a + 1, és így \frac{1}{a + 1} < x \leq \frac{1}{a}, \end{matrix}

(2)

ahol

a \geq 1

.
Szorozzuk (2)-t a

k = 2 a

számmal, hogy a felső korlát megegyezzék az (1)-belivel:

\begin{matrix} \frac{2 a}{a + 1} < k x \leq 2. \end{matrix}

Ha itt a bal oldal nem kisebb 4/3-nál, akkor

k x

-ra teljesül (1), tehát

k = 2 a

megfelelő szám, amennyiben

\begin{matrix} \frac{2 a}{a + 1} \geq \frac{4}{3}, azaz, ha a \geq 2. \end{matrix}

A fennmaradó

a = 1

esetben, vagyis ha

\begin{matrix} 1 / 2 < x \leq 1, \end{matrix}

(3)

k = 4

már túl nagy, csak

k = 2

és

k = 3

lehet megfelelő. Keressük meg, mely

x

-ekre felelnek meg ezek az értékek.

\begin{matrix} 4 / 3 < 2 x \leq 2 teljesül, ha 2 / 3 < x \leq 1, \end{matrix}

\begin{matrix} 4 / 3 < 3 x \leq 2 teljesül, ha 4 / 9 < x \leq 2 / 3, \end{matrix}

ezek szerint

k = 2

és 3 egyike mindenesetre megfelel, ha

4 / 9 < x \leq 1

. Itt

4 / 9 < 1 / 2

, ezzel beláttuk, hogy (3) minden

x

számához is tartozik megfelelő

k

szám.

Fencsik Gábor (Budapest, Berzsenyi D. g. II. o. t.)