Feladat: 947. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 1965/november, 118. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyenlőtlenségek, Maradékos osztás, Szorzat, hatvány számjegyei, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1964/december: 947. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha A, B, C különböző, akkor nyilvánvalóan nem lehet C=1. B legalább A⋅C, mert legalább ennyi 10-es van a szorzatban, így A-nál is, C-nél is nagyobbnak kell lennie. Ha C≥4, akkor A csak 1 lehet, mert különben a szorzat nagyobb volna 25⋅4=100-nál. Nem lehet C≥6, mert akkor a szorzat nagyobb mint 17⋅6>100. Így a C=2, 3, 4, 5 eseteket kell vizsgálnunk.
Közelítő egyenlőségünket a következő kettős egyenlőtlenség alakjában írhatjuk (az 5-ös jegy fel- és lefelé kerekítését egyaránt megengedve)

BC¯-0,5≤AB,C¯⋅C≤BC¯+0,5.
10-zel szorozva és BC¯⋅C-t levonva
(10-C)⋅BC¯-5≤100⋅A⋅C≤(10-C)⋅BC¯+5.
Az első egyenlőtlenséghez adjunk 5-öt, a másodikból vonjunk le 5-öt, így az adódó két egyenlőtlenséget fordított sorrendben újra egyesíthetjük:
100⋅A⋅C-5≤(10-C)⋅BC¯≤100⋅A⋅C+5,
vagyis (10-C)⋅BC¯-t fel vagy lekerekítve tizesekre, 100-zal osztható számot kapunk, amelyben a 100-asok száma osztható C-vel. Ez C=5 mellett lehetetlen, mert akkor a középső szorzatban a 10-esek száma 2 vagy 7. Ha C=4, akkor egyrészt A=1, másrészt a középen álló 6⋅B4¯ lefelé kerekítendő, így 6⋅B 8-ra kell hogy végződjék, tehát B=3 vagy 8. Az előbbi kisebb C-nél, az utóbbival kerekítve 500-at kapunk 400 helyett.
Ha C=3, a középen álló 7⋅B3¯ B=4 mellett lesz kerekítve 100-zal osztható, éspedig 300, ami A=1-re 100⋅A⋅C alakú. Valóban, 14,3⋅3=42,9≈43, a feladat követelményeinek megfelelően.
Ha C=2, 8⋅B2¯ 10-esekre kerekítve (fölfelé) csak B=1 vagy 6 mellett ad kerek százasokat. Az előbbi kisebb C-nél, az utóbbival a kerekített szorzat 500, a százasok száma nem osztható C-vel. Így a feladat egyetlen megoldása A=1, B=4, C=3.