Kezdőlap


Feladat:	946. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Langer Tamás , Takács László
Füzet:	1965/október, 52. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Szorzat, hatványozás azonosságai, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/december: 946. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Vegyük észre, hogy mind a négy zárójelbeli kifejezés egyszerűen állítható elő a következő kettőből: $a + b + c - d = e$ , $a + c = f$ . Ezekkel, két-két négyzet különbségét szorzattá alakítva

\begin{matrix} K = {(e + f)}^{2} - {(2 e + f)}^{2} - {(3 e + f)}^{2} + {(4 e + f)}^{2} = \\ = (- e) (3 e + 2 f) + e (7 e + 2 f) = 4 e^{2} = {(2 a + 2 b + 2 c - 2 d)}^{2} . \end{matrix}

Langer Tamás (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. II. o. t.)

II. megoldás. Fejtsük ki a négyzeteket és állapítsuk meg külön-külön

K

-ban az egynevű tagok összegét.

a^{2}

és

c^{2}

együtthatója

2^{2} - 3^{2} - 4^{2} + 5^{2} = 4

a c

együtthatója pedig 2-szer ennyi: 8, ezek a tagok együtt

{(2 a + 2 c)}^{2}

-et adják. Hasonlóan

b^{2}

és

d^{2}

együtthatója

1^{2} - 2^{2} - 3^{2} + 4^{2} = 4

a - b d

szorzaté ismét 2-szer ennyi, e három tag összege

{(2 b - 2 d)}^{2}

. Végül az

a b

c b

- a d

- c d

szorzatok együtthatója egyformán

2 (2 \cdot 1 - 3 \cdot 2 - 4 \cdot 3 + 5 \cdot 4) = 8

, összegük

\begin{matrix} 8 (a b + c b - a d - c d) = 8 (a + c) (b - d) = 2 (2 a + 2 c) (2 b - 2 d), \end{matrix}

az előzőkben összefoglalt négyzetek alapjainak 2-szeres szorzata. Így

\begin{matrix} K = {[2 (a + b) + 2 (b - d)]}^{2} . \end{matrix}

Takács László (Sopron, Széchenyi I. g. I. o. t.)

Megjegyzés. Az együtthatókban látott meglepő ismétlődés az

\begin{matrix} x y - (x + 1) (y + 1) - (x + 2) (y + 2) + (x + 3) (y + 3) = 4 \end{matrix}

azonosság következménye. A négyzetes tagok együtthatóinak esetében

y = x