Kezdőlap


Feladat:	945. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Arányi P. , Babai L. , Bárány I. , Baranyai Zs. , Berkes I. , Deák L. , Domokos Zsuzsanna , Eff L. , Ferenczi M. , Fodor Magdolna , Fojt L. , Gáspár A. , Herszényi B. , Horváth Sándor , Joó Piroska , Kafka P. , Karosi Gy. , Késmárki M. , Kuluncsich T. , Laczkovich M. , Lévai F. , Lippner Gy. , Malina J. , Palla L. , Staub Klára , Steiner Gy. , Szentgáli Á. , Szeredi P. , Tényi G. , Vadász I. , Varga Gabriella , Verdes S.
Füzet:	1965/október, 51. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Síkgeometriai bizonyítások, Súlyvonal, Téglalapok, Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/november: 945. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A kérdéses egyenlőség nem mindig igaz, mert ha $F$ -et az $A B$ oldal felezőpontjában választjuk, $E F$ és $A C$ párhuzamosak, az $M$ pont nem jön létre. Ebben és csak ebben az esetben $G$ a $B$ -be esik, $C G$ párhuzamos $A D$ -vel, $N$ sem jön létre. Semmitmondó az állítás, ha $F$ ‐ és vele $G$ is ‐ az $A$ -ba esik, mert $M$ , $N$ , $A$ egybeesnek. $M$ és $N$ az $F$ minden más helyzetében külön-külön létrejön; megmutatjuk, hogy ekkor a kérdéses egyenlőség fennáll.
Messe $E G$ az $A D$ -t $H$ -ban, és legyen a téglalap $A B$ -vel párhuzamos középvonala $E J$ , ez $A C$ -t a téglalap $K$ középpontjában metszi, $J K = K E$ , és $A K = K C$ . Ekkor $H K$ az $E J H$ háromszög súlyvonala, felezi $A B$ -nek a háromszögbe eső $A G$ szakaszát, vagyis átmegy $F$ -en. $K F$ az $A C G$ háromszög középvonala, mert felezi $A C$ -t és $A G$ -t, így párhuzamos $C G$ -vel, ekkor pedig $K H$ az $A C N$ háromszög középvonala, ezért $H$ felezi $A N$ -t.
Az $E K H$ , $G F H$ és az $E K M$ , $F A M$ háromszög-párok hasonlóságából

\begin{matrix} H F : H K = F G : K E = A F : K E = M A : M K, \end{matrix}

így

M H

párhuzamos

A F

-fel, tehát merőleges

A N

-re, vagyis az

A M N

háromszög

A N

alapjának

H

felezőpontját az

M

csúccsal összekötő egyenes merőleges az alapra. Így a háromszög egyenlő szárú:

M A = M N

.
Horváth Sándor (Budapest, I. István g. I. o. t.)

II. megoldás. Az

A M N

háromszög egyenlő szárú voltát avval bizonyítjuk, hogy

M

-ből húzott magasságának

P

talppontja felezi az

A N

alapot. Az

A M P

C A B

és az

A G N

B G C

háromszögpárok hasonlóságából:

\begin{matrix} A P = \frac{A M}{A C} \cdot B C, A N = \frac{A G}{B G} \cdot B C, így \frac{A P}{A N} = \frac{A M \cdot B G}{A C \cdot A G} . \end{matrix}

M A F

és

M K E

háromszögek hasonlóságából (

K

jelentése a fenti)

\begin{matrix} M K = M A + \frac{A C}{2} = \frac{K E}{A F} \cdot M A, \end{matrix}

innen

\begin{matrix} M A = \frac{A C \cdot A F}{2 K E - 2 A F} = \frac{A C \cdot A F}{A B - A G} = \frac{A C \cdot A G}{2 B G}, \end{matrix}

amit a fenti hányadosba helyettesítve

A P / A N = 1 / 2

(vagyis

P

azonos a fenti

H

ponttal). Ezt akartuk bizonyítani.

Domokos Zsuzsanna (Makó, József A. g. III. o. t.)