|
Feladat: |
944. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Ambrus G. , Bod Judit , Bozóky-Szeszich Á. , Dékány I. , Dobozy O. , Gáspár A. , Havas I. , Holló Cs. , Horváth S. , Kloknicer I. , Major Péter , Márkus A. , Palla L. , Say I. , Szalay Marianne , Tarján T. , Thomka I. , Varga Gabriella , Várhegyi T. , Verdes S. , Vizvári B. |
Füzet: |
1965/október,
49 - 50. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Síkidomok átdarabolása, Diofantikus egyenletek, Kombinatorikai leszámolási problémák, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1964/november: 944. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A kívánt átdarabolás lehetséges, mert az adott és négyzetek területének összegével egyenlő területű négyzet oldalának hossza egész szám: (egységünk mindig a cm), ugyanis | | Ennélfogva az előírást teljesíthetjük pl. úgy, hogy az adott négyzeteket 1 cm széles csíkokra vagdaljuk, majd ezekből egymás után levágott, kellő hosszúságú darabokkal a kívánt négyzetet 1 cm-es sávonként lefedjük.
1. és 2. ábra Nyilvánvaló azonban, hogy és egyikét egészben is beilleszthetjük -ba, és várható, hogy másikukat sem kell mindig ennyire felaprózni. -et és -t két szemben fekvő sarkába beillesztve egy részét kétszer fedtük le (1. ábra), mert és oldalainak összege nagyobb oldalánál, hiszen nyilván , így pedig és oldalainak különbsége, , kisebb 2 -nél, oldalánál. A kétszer fedett rész négyzet alakú, és oldala . Másrészt -ból két egybevágó téglalap fedetlen maradt, oldalaik , ill. és oldalainak különbsége: . Kivágva mármost az -et másodszor fedő részt és valamelyikéből, ezt úgy kell feldarabolnunk, hogy részeivel a -ket lefedhessük. -nek és -nek közös osztója az , oldalpárnak pedig . Ezért és felosztható olyan egybevágó téglalapokra, amelyeknek oldala és . Így szétdarabolva -et, kívánt lefedése mindenesetre végrehajtható. A idomok -ben az egyik oldaliránnyal párhuzamosan , a másikkal párhuzamosan sávot alkotnak, így számuk ; -ben viszont , ill. a sávok száma, tehát a idomok száma valóban fele az -belinek. Az -beli -ok száma annyi, mint ha -et 1 cm-es csíkokra vagdaltuk volna, de így mégsem az egész -et és -t vagdaltuk csíkokra.
3. 4. és 5. ábra Van is olyan eset, amikor a feladat nem hajtható végre kevesebb részre vágással, mégpedig ha , mert ekkor majdnem kitölti -at, csupán egy 1 cm széles, -alakú sávot hagy fedetlenül (2. ábra, , esete). A másik véglet esetében azonban ‐ ti. amikor tölti ki majdnem -at, amikor ‐ már csökkenthető a részek száma. Ekkor -ben az egyik irányban 2 sáv van, a másik irányú sávok két-két -ját egyben hagyhatjuk, legfeljebb egyet kell kettévágni, ha ti. az különbség páratlan szám (3. és 4. ábra, , ill. 4). Ha sávjainak száma mindkét irányban nagyobb, akkor nagyobb számú is maradhat egy-egy darabban (5. ábra, , , az oldalak 119, 120, 169, ill. 70, csak feldarabolását és a második összeállítását rajzoltuk meg, részeinek száma csupán 6). Eljárásunk nem jelenti annak bizonyítását, hogy az átdarabolás nem hajtható végre kisebb számú darabra osztással.
Szalay Marianne (Budapest, I. István g. I. o. t.)
Megjegyzés. Nem nehéz belátni, hogy az -idom aránylag akkor a legszélesebb, ha és oldalai majdnem egyenlők, ami akkor áll be, ha és aránya közel áll -hez. A legkisebb ilyen értékpár , , a következő az 5. ábra esete. |
|