Feladat: 944. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ambrus G. ,  Bod Judit ,  Bozóky-Szeszich Á. ,  Dékány I. ,  Dobozy O. ,  Gáspár A. ,  Havas I. ,  Holló Cs. ,  Horváth S. ,  Kloknicer I. ,  Major Péter ,  Márkus A. ,  Palla L. ,  Say I. ,  Szalay Marianne ,  Tarján T. ,  Thomka I. ,  Varga Gabriella ,  Várhegyi T. ,  Verdes S. ,  Vizvári B. 
Füzet: 1965/október, 49 - 50. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Síkidomok átdarabolása, Diofantikus egyenletek, Kombinatorikai leszámolási problémák, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1964/november: 944. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kívánt átdarabolás lehetséges, mert az adott N1 és N2 négyzetek területének összegével egyenlő területű N3 négyzet oldalának hossza egész szám: m2+n2 (egységünk mindig a cm), ugyanis

(m2-n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2.
Ennélfogva az előírást teljesíthetjük pl. úgy, hogy az adott négyzeteket 1 cm széles csíkokra vagdaljuk, majd ezekből egymás után levágott, kellő hosszúságú darabokkal a kívánt négyzetet 1 cm-es sávonként lefedjük.
 
 
1.  és  2. ábra
 

Nyilvánvaló azonban, hogy N1 és N2 egyikét egészben is beilleszthetjük N3-ba, és várható, hogy másikukat sem kell mindig ennyire felaprózni. N1-et és N2-t N3 két szemben fekvő sarkába beillesztve N3 egy részét kétszer fedtük le (1. ábra), mert N1 és N2 oldalainak összege nagyobb N3 oldalánál, hiszen nyilván m>n, így pedig N3 és N1 oldalainak különbsége, d=2n2, kisebb 2 mn-nél, N2 oldalánál. A kétszer fedett N rész négyzet alakú, és oldala f=2mn-d=2n(m-n). Másrészt N3-ból két egybevágó T téglalap fedetlen maradt, oldalaik d, ill. N3 és N2 oldalainak különbsége: e=(m-n)2. Kivágva mármost az N-et másodszor fedő részt N1 és N2 valamelyikéből, ezt úgy kell feldarabolnunk, hogy részeivel a T-ket lefedhessük.
d-nek és f-nek közös osztója 2n az e, f oldalpárnak pedig m-n. Ezért N és T felosztható olyan egybevágó T0 téglalapokra, amelyeknek oldala 2n és m-n. Így szétdarabolva N-et, N3 kívánt lefedése mindenesetre végrehajtható. A T0 idomok N-ben az egyik oldaliránnyal párhuzamosan f/2n=m-n, a másikkal párhuzamosan f/(m-n)=2n sávot alkotnak, így számuk 2n(m-n); T-ben viszont d/2n=n, ill. e/(m-n)=m-n a sávok száma, tehát a T0 idomok n(m-n) száma valóban fele az N-belinek. Az N-beli T0-ok száma annyi, mint ha N-et 1 cm-es csíkokra vagdaltuk volna, de így mégsem az egész N1-et és N2-t vagdaltuk csíkokra.
 
 
3.  4. és 5. ábra
 

Van is olyan eset, amikor a feladat nem hajtható végre kevesebb részre vágással, mégpedig ha m=n+1, mert ekkor N2 majdnem kitölti N3-at, csupán egy 1 cm széles, L-alakú sávot hagy fedetlenül (2. ábra, m=3, n=2 esete). A másik véglet esetében azonban ‐ ti. amikor N1 tölti ki majdnem N3-at, amikor n=1 ‐ már csökkenthető a részek száma. Ekkor N-ben az egyik irányban 2 sáv van, a másik irányú sávok két-két T0-ját egyben hagyhatjuk, legfeljebb egyet kell kettévágni, ha ti. az m-n különbség páratlan szám (3. és 4. ábra, m=3, ill. 4).
Ha N sávjainak száma mindkét irányban nagyobb, akkor nagyobb számú T0 is maradhat egy-egy darabban (5. ábra, m=12, n=5, az oldalak 119, 120, 169, ill. 70, csak N feldarabolását és a második T összeállítását rajzoltuk meg, N részeinek száma csupán 6).
Eljárásunk nem jelenti annak bizonyítását, hogy az átdarabolás nem hajtható végre kisebb számú darabra osztással.
 
Szalay Marianne (Budapest, I. István g. I. o. t.)

 
Megjegyzés. Nem nehéz belátni, hogy az L-idom aránylag akkor a legszélesebb, ha N1 és N2 oldalai majdnem egyenlők, ami akkor áll be, ha m és n aránya közel áll 2+1-hez. A legkisebb ilyen értékpár m=5, n=2, a következő az 5. ábra esete.