Kezdőlap


Feladat:	943. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bárász Péter , Élthes Eszter , Herneczki István
Füzet:	1965/november, 116 - 117. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pont körüli forgatás, Eltolás, Transzformációk szorzata, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül sokszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/november: 943. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az ábra jelöléseit használjuk (a $B C$ és $D E$ egyenesek közös pontja $J$ és í. t.).

A háromszög külső szögére ismert tételt alkalmazzuk először a

B C N

, majd az

N D L

háromszögre:

\begin{matrix} β + γ = A B C ∢ + B C D ∢ = N B C ∢ + B C N ∢ = B N D ∢ = L N D ∢, \\ L N D ∢ + N D L ∢ = N L E ∢, ahol N D L ∢ = C D E ∢ = δ, \end{matrix}

így

\begin{matrix} β + γ + δ = N L E ∢ = A L E ∢ . \end{matrix}

Ehhez hozzáadva az

ε = D E A ∢ = L E A ∢

-et és

α = E A B ∢ = E A L ∢

-et, az

A E L

háromszög szögeinek összegét kapjuk, tehát

α + β + γ + δ + ε = 180^{\circ}

Élthes Eszter (Budapest, I. István g. I. o. t.)

II. megoldás. A kérdéses szögek összegét úgy kapjuk, hogy a

B J L

C K M

D L N

E M J

és

A N K

háromszögek belső szögeinek

5 \cdot 180^{\circ}

összegéből kivonjuk e háromszögek

J

K

L

M

N

csúcsánál levő belső szögek összegét (az ábrán pont van a száraik között). E

10

szög közül

2

‐

2

egymásnak csúcsszöge, és így egyenlő, és mindegyik egy külső szöge a

J M K N L

közönséges ötszögnek; így a fenti kivonandó egyenlő e külső szögek összegének

2

-szeresével.
A közönséges ötszög mindegyik csúcsánál a belső és a külső szög összege

180^{\circ}

, ezért a külső szögek összegét úgy kapjuk, hogy

5 \cdot 180^{\circ}

-ból kivonjuk a belső szögek összegét. Ez, mint ismeretes,

3 \cdot 180^{\circ}

, tehát a külső szögek összege

2 \cdot 180^{\circ}

, a fenti kivonandó

4 \cdot 180^{\circ}

, ennélfogva a kérdéses összeg, a kivonás maradéka,

1 \cdot 180^{\circ} = 180^{\circ}

Bárász Péter (Budapest, Fazekas M. gyak. g. I. o. t.)

III. megoldás. Járjuk körül az ötszöget a betűzés szerint az

E A

oldal egy belső pontjából, pl.

K

-ból elindulva. Ekkor egyrészt sorra az

A

B

C

D

E

csúcsoknál kell fordulnunk az

α

β

γ

δ

, ill.

ε

szögek kiegészítő szögével, másrészt két teljes fordulatot tettünk meg. Így

\begin{matrix} 180^{\circ} - α + 180^{\circ} - β + 180^{\circ} - γ + 180^{\circ} - δ + 180^{\circ} - ε = 720^{\circ}, \\ α + β + γ + δ + ε = 180^{\circ} . \end{matrix}

Herneczki István (Sopron, Széchenyi I. g. I. o. t.)

IV. megoldás. A kérdéses

α + β + γ + δ + ε

összeg tekinthető az

A E

szakasz irányváltozásának a következő mozgás-sorozat folyamán. Az

A E

szakasz
1. a)

A

körül ráfordul (

180^{\circ}

-nál kisebb elfordulással) az

A B

félegyenesre, új helyzete

A_{1} E_{1} = A E_{1}

;
1. b) (ha kell,) úgy tolódik el (az

A B

egyenes mentén), hogy

E_{1}

B

-be jusson, új helyzete

A'_{1} E'_{1} = A'_{1} B

;
2. a)

B

(azaz

E'_{1}

) körül ráfordul a

B C

félegyenesre:

A_{2} E_{2} = A_{2} B

;
2. b) (ha kell,) az

A'_{2} E'_{2} = C E'_{2}

helyzetbe tolódik;
3. a) az

A_{3} E_{3} = C E_{3}

helyzetbe fordul;
3. b) (ha kell,) az

A'_{3} E'_{3} = A'_{3} D

-be tolódik;
4. a)

A_{4} E_{4} = A_{4} D

-be fordul;
4. b) (ha kell,)

A'_{4} E'_{4} = E E'_{4}

-be tolódik;
5.

E A

-ba fordul.
A mozgás-sorozat felcserélte

A

és

E

helyzetét, az

A E

irány

180^{\circ}

-kal fordult el; minden forgás ugyanabban az irányban történt (az ábrán a pozitív forgás irányában), így a vizsgálandó összeg értéke

180^{\circ}