|
Feladat: |
939. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 14-15 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Babai László , Bod Judit , Eff L. , Eszter I. , Faragó T. , Gál Katalin , Gáspár A. , Halász F. , Héjj G. , Horváth S. , Kádas S. , Kafka P. , Lukács P. , Márkus A. , Michaletzky Gy. , Naszódi M. , Palla L. , Simon J. , Somos Ágnes |
Füzet: |
1965/május,
218 - 219. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Algebrai átalakítások, Számkörök, Egyenlőtlenségek, Irányított gráfok, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1964/november: 939. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a törteket a felsorolás sorrendjében , , , , , betűvel. Látni fogjuk, hogy a mondott feltételek mellett a törtek közül egyes párokról eldönthető, melyik számuk a kisebb, más párok tagjai közül lehet az egyik is, a másik is kisebb , , , alkalmas megválasztásával, és lehetnek egyenlők is. A feltételekből következik, hogy minden számláló és nevező pozitív. Így az egyenlő nevezőjű és , továbbá és közül a nagyobb számlálójú első a nagyobb, az egyenlő számlálójú és , továbbá és közül pedig a kisebb nevezőjű második a nagyobb. Ezekből már is következik. Hasonlítsuk össze -t és -t -vel: | | A számlálók egymás negatívjai, és mindig az utóbbi pozitív , így , amiből az előzők alapján és is következik. Megmutatjuk, hogy a további párok nagyságviszonyát a feltételek nem határozzák meg. Közös nevezőnek mindig a nevezők szorzatát választva számlálója | | Az utolsó zárójelbeli különbség tagjai a feltevés szerint -nél nagyobb számok, további követelmény azonban nem áll fenn rájuk, így bármelyikük lehet kisebb a másiknál, tehát a számláló, és vele a különbség is lehet akár pozitív, akár negatív, akár . Így és nagyságviszonyát pusztán a feltevések alapján nem lehet eldönteni. számlálója . Rögzítsük , és értékét. Ekkor a számláló a érték mellett lesz. megfelel a feltevésnek, mert a zárójelben -nél nagyobb szám áll. Eszerint választható , , , úgy, hogy . -nál nagyobb, ill. kisebb értéket választva -nek, a számláló csökken, ill. növekszik, így és is lehetséges. Hasonlóan számlálója ; ez , ha és innen pozitívnak adódik, ha -t nagyobbnak választjuk felénél. Még egyszerűbb az utolsó két összehasonlítás: | | Ennyiből a fentiekhez hasonlóan belátható, hogy és , és , valamint és között is -féle nagyságviszony állhat fenn. Eredményeinket az ábra szemlélteti. Egy szám kisebb a másiknál, ha el lehet jutni az előbbit ábrázoló pontból az utóbbit ábrázoló pontba állandóan emelkedő úton (pl. -ból -be, -be vagy -be). Ha viszont ilyen út nincs köztük, akkor bármi lehet köztük a nagyságviszony , , , alkalmas, a feltételeket kielégítő választása mellett.
Az ábráról az is leolvasható, hogy legfeljebb három olyat lehet kiválasztani számaink közül, amelyek bármely, a feltételeknek megfelelő , , , értékrendszer esetére ugyanabban a sorrendben következnek nagyság szerint. Ezek | |
Babai László (Budapest, Fazekas M. gyak. g. I. o. t.) Ugyanis . |
|