Feladat: 939. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Babai László ,  Bod Judit ,  Eff L. ,  Eszter I. ,  Faragó T. ,  Gál Katalin ,  Gáspár A. ,  Halász F. ,  Héjj G. ,  Horváth S. ,  Kádas S. ,  Kafka P. ,  Lukács P. ,  Márkus A. ,  Michaletzky Gy. ,  Naszódi M. ,  Palla L. ,  Simon J. ,  Somos Ágnes 
Füzet: 1965/május, 218 - 219. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Számkörök, Egyenlőtlenségek, Irányított gráfok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1964/november: 939. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a törteket a felsorolás sorrendjében A, B, C, D, E, F betűvel. Látni fogjuk, hogy a mondott feltételek mellett a törtek közül egyes párokról eldönthető, melyik számuk a kisebb, más párok tagjai közül lehet az egyik is, a másik is kisebb a, b, c, d alkalmas megválasztásával, és lehetnek egyenlők is.
A feltételekből következik, hogy minden számláló és nevező pozitív. Így az egyenlő nevezőjű C és E, továbbá D és F közül a nagyobb számlálójú első a nagyobb, az egyenlő számlálójú C és D, továbbá E és F közül pedig a kisebb nevezőjű második a nagyobb. Ezekből már E<D is következik.
Hasonlítsuk össze A-t és B-t C-vel:

A-C=ad-bcb(b+d),B-C=bc-ad(b+d)d.
A számlálók egymás negatívjai, és mindig az utóbbi pozitív 1, így A<C<B, amiből az előzők alapján A<D és E<B is következik.
Megmutatjuk, hogy a további párok nagyságviszonyát a feltételek nem határozzák meg. Közös nevezőnek mindig a nevezők szorzatát választva C-F számlálója
(a+c)(b-d)-(c-a)(b+d)=2(ab-cd)=2ad(bd-ca).
Az utolsó zárójelbeli különbség tagjai a feltevés szerint 1-nél nagyobb számok, további követelmény azonban nem áll fenn rájuk, így bármelyikük lehet kisebb a másiknál, tehát a számláló, és vele a C-F különbség is lehet akár pozitív, akár negatív, akár 0. Így C és F nagyságviszonyát pusztán a feltevések alapján nem lehet eldönteni.
A-F számlálója 2ab-ad-bc. Rögzítsük a, b és d értékét. Ekkor a számláló a
c=c0=2ab-adb=a(2-db)
érték mellett 0 lesz. c0 megfelel a feltevésnek, mert a zárójelben 1-nél nagyobb szám áll. Eszerint választható a, b, c, d úgy, hogy A=F. c0-nál nagyobb, ill. kisebb értéket választva c-nek, a számláló csökken, ill. növekszik, így A<F és A>F is lehetséges.
Hasonlóan B-F számlálója ad+bc-2cd; ez 0, ha
a=c(2-bd)<c,
és innen a pozitívnak adódik, ha d-t nagyobbnak választjuk b felénél.
Még egyszerűbb az utolsó két összehasonlítás:
A-E=0,hac=a(2+db),B-D=0,hab=d(2+ac).
Ennyiből a fentiekhez hasonlóan belátható, hogy B és F, B és D, valamint A és E között is 3-féle nagyságviszony állhat fenn.
Eredményeinket az ábra szemlélteti. Egy szám kisebb a másiknál, ha el lehet jutni az előbbit ábrázoló pontból az utóbbit ábrázoló pontba állandóan emelkedő úton (pl. A-ból C-be, B-be vagy D-be). Ha viszont ilyen út nincs köztük, akkor bármi lehet köztük a nagyságviszony a, b, c, d alkalmas, a feltételeket kielégítő választása mellett.
 
 

Az ábráról az is leolvasható, hogy legfeljebb három olyat lehet kiválasztani számaink közül, amelyek bármely, a feltételeknek megfelelő a, b, c, d értékrendszer esetére ugyanabban a sorrendben következnek nagyság szerint. Ezek
A<C<B,A<C<D,E<C<B,E<C<D,E<F<D.

Babai László (Budapest, Fazekas M. gyak. g. I. o. t.)
1Ugyanis bc-ad=bc-cd+cd-ad=(b-d)c+(c-a)d>0.