Kezdőlap


Feladat:	937. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kele András
Füzet:	1965/május, 217 - 218. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mértani helyek, Diszkusszió, Négyszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/október: 937. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Egy sokszög területét ugyanúgy fogjuk jelölni, mint magát a sokszöget. Keressük a $D$ pontot az $A C$ egyenes ellenkező oldalán, mint ahol a $B$ pont van. Ekkor kell, hogy $A C D = 2 A B C$ legyen, tehát hogy $D$ kétszer akkora távolságra legyen $A C$ -től, mint $B$ . Az ennek a feltételnek megfelelő egyenes pontjai közül csak az $A B$ és $B C$ egyenessel való $D_{a}$ és $D_{c}$ metszéspontok nem felelnek meg a követelménynek, mert négyszög helyett háromszög keletkezik.
Ha $D$ és $B$ az $A C$ egyenes egy oldalán vannak, akkor

\begin{matrix} A B C D = A C D - A B C = 3 A B C, A C D = 4 A B C \end{matrix}

kell, hogy teljesüljön, így csak annak az

A C

-vel párhuzamos egyenesnek a pontjai jönnek tekintetbe, amelyik négyszer akkora távolságra van

A C

-től, mint a

B

pont. Ezek közül csak az

A B

és

B C

egyenes közti

D'_{a} D'_{b}

szakasz belső pontjait választva jön konkáv négyszög létre.

b) A szerkesztés menetét az ábra mutatja. A sorszámok az egyes egyenesek megszerkesztésének sorrendjét mutatják, a vesszős egyenesek a megfelelő vessző nélküli számmal jelölt párhuzamos egyenes megrajzolásához támaszegyenesül szolgálnak. (Ehhez elég az egyenes két pontjának ismerete, mint pl. az

A C

és

B B'

egyenesek esetében.)

E

1

és

2

egyenes metszéspontja;

B'

1

és

4

-é,

D_{1}

1

és

5

-é,

D_{2}

3

és

5

-é,

F

5

és

9

egyenesé (utóbbi csak az igazoláshoz kell).

A D_{1} = B B'

A B B' D_{1}

paralelogrammából. Mivel

A C

felezi a

B B'

átlót, így

D_{1}

kétszer akkora távolságra van

A C

-től, mint

B

. Az

A B' B F

paralelogrammából

A F = B' B

, továbbá

F D_{2} = A F

, mert az

A B E C

paralelogramma

B C

átlójától egyenlő távolságra van a másik két csúcson át vele párhuzamosan húzott 3 és 4 egyenes, tehát ezek egyenlő szakaszokat metszenek le 5-ből. Így

D_{2}

kétszer akkora távolságra van

A C

-től, mint

D_{1}

, tehát

4

-szer távolabb, mint

B

.
A

6

7

8

és

9

egyenes a mértani hely kijelölésére szolgált.

Kele András (Nagykanizsa, Landler J. g. I. o. t.)