Kezdőlap


Feladat:	936. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szeidl László
Füzet:	1965/november, 115 - 116. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Középpontos tükrözés, Paralelogrammák, Diszkusszió, Négyszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/október: 936. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. A $P Q D$ és $P A B$ , továbbá a $P Q R$ és $P A M$ hasonló háromszögpárok megfelelő oldalainak aránya egyenlő, így

\begin{matrix} \frac{M R}{A B} = \frac{D Q}{A B} = \frac{Q P}{A P} = \frac{R P}{M P} = \frac{M R - M P}{M P} = \frac{M R}{M P} - 1, \end{matrix}

és így

M R

-rel osztva

\begin{matrix} \frac{1}{A B} = \frac{1}{M P} - \frac{1}{M R} . \end{matrix}

(1)

P Q S

P A D

és

P Q R

P A M

hasonló háromszög-párok megfelelő oldalainak aránya egyenlő, így

\begin{matrix} \frac{B C}{Q S} = \frac{A D}{Q S} = \frac{A P}{Q P} = \frac{A M}{Q R} = \frac{A D - D M}{Q R} = \frac{B C - Q R}{Q R} = \frac{B C}{Q R} - 1. \end{matrix}

Innen

B C

-vel osztva és rendezve

\begin{matrix} \frac{1}{B C} = \frac{1}{Q R} - \frac{1}{Q S} . \end{matrix}

(2)

(1) és (2) az előírt szakasz-hármasok közti egyszerű összefüggések. Ha

M

A D

oldal belső pontja, az ábra létrejön, (1) és (2) érvényesek;

M = A

esetén már

Q

sem jön létre,

M = D

esetén pedig

M

D

P

Q

R

S

egybeesik.

II. A

B

C

Q

N

pontokból megszerkeszthető

R

is, így (2)-ből meghatározható

Q S

\begin{matrix} \frac{1}{Q S} = \frac{1}{Q R} - \frac{1}{B C} = \frac{B C - Q R}{Q R \cdot B C} = \frac{B C - C N}{Q R \cdot B C} = \frac{B N}{Q R \cdot B C}, \frac{Q R}{Q S} = \frac{B N}{B C} . \end{matrix}

Messe

D R

B C

egyenest

T

-ben, ekkor

Q R / Q S = C T / C B

, tehát

C T = B N

. Ennek alapján a következő szerkesztés látszik célravezetőnek.
Legyen

T

N

pont tükörképe a

B C

szakasz középpontjára, továbbá

R T

és

C Q

metszéspontja

D

, a

B

-n át

C D

-vel és

D

-n át

B C

-vel párhuzamosan húzott egyenesek metszéspontja

A

.
Be kell látnunk, hogy az

A B C D

paralelogrammából és az

M N = N R

egyenesből kiindulva az adott

Q

ponthoz jutunk. Tegyük fel, hogy a

Q'

R'

S'

pontok adódnak, továbbá jelöljük

B D

és

Q R

metszéspontját

S

-sel. Ekkor egyrészt szerkesztés szerint teljesül

\begin{matrix} \frac{Q R}{Q S} = \frac{C T}{C B} = \frac{B N}{C B} = \frac{B C - Q R}{C B}, \end{matrix}

tehát teljesül (2), másrészt teljesül

\begin{matrix} \frac{1}{B C} = \frac{1}{Q' R'} - \frac{1}{Q' S'} . \end{matrix}

Mivel

Q' R' = Q R

, így

Q' S' = Q S

, de ez csak úgy lehet, ha

Q = Q'

, mert

B D

és

C D

nem párhuzamos.

D

mindig létrejön, kivéve, ha

N

B C

szakasz felezőpontja.

Szeidl László (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. III. o. t.)

Megjegyzés: Belátható az is, hogy

M B

és

Q S

metszéspontja a

Q

pont

R

-re vonatkozó tükörképe, ami szintén módot ad a szerkesztésre.