Kezdőlap


Feladat:	935. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Semsey András
Füzet:	1965/szeptember, 9 - 10. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Pont körüli forgatás, Eltolás, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/október: 935. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyenek a háromszögek $A B C = H$ és $A_{1} B_{1} C_{1} = H_{1}$ és legyen $A_{1} B_{1} ⊥ A B$ , $A_{1} C_{1} ⊥ A C$ . Ekkor a merőleges szárú szögekre ismert tétel szerint a $B_{1} A_{1} C_{1}$ szög vagy egyenlő a $B A C$ szöggel, vagy kiegészítik egymást $180^{\circ}$ -ra, és mindkét állítás teljesül, ha $B A C ∢ = 90^{\circ}$ . Így elég azt megmutatnunk, hogy ha $B A C ∢ < 90^{\circ}$ és $B_{1} A_{1} C_{1} ∢ = 180^{\circ} - B A C ∢ (> 90^{\circ})$ , akkor a $B C$ -re merőleges egyenes metszi $B_{1} C_{1}$ -et (így $B_{1} C_{1}$ nem lehet merőleges $B C$ -re).

Toljuk el

H_{1}

-et úgy, hogy

A_{1}

egybeessék

A

-val. (Az ábrán

H_{1}

-nek ez a helyzete látható.) Ezzel az oldalak merőlegessége nem változik meg. Húzzuk meg

A

-n át a

B C

-vel párhuzamos

d

egyenest. Ez az

A B

és

A C

egyenesek határolta két tompaszögű szögtartományon halad át (különben metszené

B C

-t).
Az ábrát

A

körül

90^{\circ}

-kal elforgatva (bármelyik irányban) az

A B

egyenes

A_{1} B_{1}

-be,

A C

A_{1} C_{1}

-be megy át,

d

pedig a rá merőleges

d'

egyenesbe. Így

d'

A_{1} B_{1}

és

A_{1} C_{1}

egyenesek határolta, tompaszögű szögtartományokon halad át, s így metszi a

B_{1} C_{1}

szakaszt. Ezt akartuk bizonyítani.
Semsey András (Budapest, Radnóti M. g. I. o. t.)

II. megoldás. Tudjuk, hogy egy szög és a rá merőleges oldalak közti szög vagy egyenlő, vagy az összegük

180^{\circ}

. Ezt felhasználva a szögekre vonatkozó számítással igazoljuk, hogy egyik megfelelő szögpárra sem állhat a második eset (hacsak nem derékszögről van szó). Legyenek a háromszögek

A

B

C

A_{1}

B_{1}

C_{1}

csúcsánál levő szögek

α

β

γ

α_{1}

β_{1}

γ_{1}

. Ekkor

\begin{matrix} α + α_{1} + β + β_{1} + γ + γ_{1} = 360^{\circ} . \end{matrix}

α + α_{1} = 180^{\circ}

, akkor

\begin{matrix} β + β_{1} + γ + γ_{1} = 180^{\circ} . \end{matrix}

Így egy második szögpár összege már nem lehet

180^{\circ}

, mert ekkor a harmadik szögpár mindegyike

0^{\circ}

lenne. Ekkor azonban

\begin{matrix} β = β_{1}, γ = γ_{1} és így β + γ = 90^{\circ} = 180^{\circ} - α, \end{matrix}

vagyis

α = 90^{\circ} = α_{1}

, tehát a megfelelő szögek ez esetben is egyenlők.