A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Megmutatjuk, hogy a feltevések miatt egy városba sem repülhetett -nél több repülőgép. Legyen olyan város, ahol legalább két repülőgép szállt le, és két ilyen gép felszállási városa , . Ekkor , és , vagyis a legnagyobb oldala , ezért legnagyobb szöge -nél van, és a másik két szög határozottan kisebb ennél. Így a mondott szög nagyobb -nál. (Akkor is fennáll , ha városok nem alkotnak háromszöget, egy egyenesen vannak, mert ekkor csak a szakasz belső pontja lehet.) Indexezzük most azokat a városokat, ahonnét a repülőgép -be repült, abban a sorrendben, amelyben egy a -ből kiinduló félegyenes áthalad rajtuk, miközben egy tetszés szerinti (pl. keletre mutató) helyzetéből kiindulva egyszeri körülfordulás után ugyanoda visszatér. Ekkor a , szögtartományok egyikében sincs további megjelölt város, valamint abban sincs, amelyet a legnagyobb indexű város átlépése után átlépéséig súrol a félegyenes. Mint láttuk, mindegyik ilyen szög nagyobb -nál (lehet köztük -nál nagyobb is), összegük , így számuk kisebb a hányadosnál, -nál. Ezt akartuk bizonyítani.
Szalay Sándor (Debrecen, Kossuth L. gyak. g. II. o. t.)
II. megoldás. Legyen olyan város, ahonnét -be repült át a gép. Ekkor a körül sugárral írt kör belsejében nincs város ‐ és a kerületén is az egyetlen. A szakasz felező merőlegesén nincs város, az ettől felé eső oldalon levő városokból pedig vagy -ben, vagy annál is közelebbi városban szálltak le a gépek. Ezek szerint bármely olyan további gép, amely -ben szállt le, csak az ábra vonalkázott síkrészében szállhatott fel. és metszéspontjait -mel, -vel jelölve , ezért a félegyenest akár , akár felé forgatva csak -nál nagyobb forgás után találhatunk olyan várost, amelynek gépe -ben szállt le. Ebből az I. megoldás módján továbbhaladva fejezhetjük be a bizonyítást.
Horváth Sándor (Budapest, I. István g. I. o. t.)
|