Kezdőlap


Feladat:	932. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kóczy László , Pongrácz Imre , Surányi László
Füzet:	1965/április, 161 - 162. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számkörök, Egyenlőtlenségek, Indirekt bizonyítási mód, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/október: 932. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Megmutatjuk, hogy az adott számok közt előforduló legkisebb érték pozitív. Ebből már következik a feladat állítása. Legyen a hét szám növekedő, ill. nem csökkenő sorrendbe rendezve

\begin{matrix} a_{1} ≦ a_{2} ≦ ... ≦ a_{7} . \end{matrix}

Így

\begin{matrix} a_{2} + a_{3} + a_{4} ≦ a_{5} + a_{6} + a_{7} . \end{matrix}

(1)

mert a jobb oldal mindegyik tagja legalább akkora, mint a bal oldal ugyanannyiadik tagja. Ha az állítással ellentétben

\begin{matrix} a_{1} ≦ 0 \end{matrix}

(2)

lenne, akkor (1) bal oldalához

a_{1}

-et adva ez az oldal még kisebbé válna, vagy változatlan maradna, tehát

\begin{matrix} a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} ≦ a_{5} + a_{6} + a_{7} \end{matrix}

következnék, a feltevéssel ellentétben. Ezért (2) nem lehet igaz, és ezzel állításunkat bebizonyítottuk.
Pongrácz Imre (Miskolc, Bláthy O. vill. energ. ip. II. o. t.)

II. megoldás. Legyen a hét szám

a

b

c

d

e

f

g

. Írjuk fel a feltevést a számok következő két kettéosztására:

\begin{matrix} a + b + c + d > e + f + g, \\ a + e + f + g > b + c + d . \end{matrix}

Ezeket összeadva, majd a mindkét oldalon fellépő számokat elhagyva

\begin{matrix} 2 a > 0, amiből a > 0. \end{matrix}

a

az adott számok bármelyikét jelentheti, ezért mindegyikük pozitív.
Surányi László (Budapest, Fazekas M. gyak. g. II. o. t.)

Megjegyzés. Hasonlóan bizonyítható az állítás, ha benne a

7

4

3

számok helyére rendre

2 k + 1

-et,

k + 1

-et,

k

-t írunk, ahol

k

természetes szám.
Kóczy László (Budapest, XI. Bocskai úti ált. isk. 7. o. t.)