Feladat: 929. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Fűrész József ,  Sas Éva 
Füzet: 1965/május, 214 - 215. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Középvonal, Középponti és kerületi szögek, Középpontos tükrözés, Súlyvonal, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1964/szeptember: 929. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a keresett háromszög ABC, az AC oldal felezőpontja B1, és ebben a BC oldal és a BB1 súlyvonal rendre egyenlő az adott a, ill. sb szakasszal, a BAC szög az adott α szöggel.

 
 

Legyen a C csúcs tükörképe a B pontra D. Így BB1 az ADC1Δ AD-vel párhuzamos középvonala, ezért DA=2 BB1=2sb. Ebből a következő szerkesztés adódik. Egy egyenesre egy tetszés szerinti B pontjából mindkét irányban felmérjük az a szakaszt, a végpontok C, ill. D. Megszerkesztjük az egyenes egyik partján a BC szakasz α nyílású i látószög-körívét, és azt elmetsszük a D körüli 2sb sugarú k körrel, a metszéspont A.
Az ABCΔ megfelel a feltételeknek, mert BC=a, BAC∢=α, és AC felezőpontját B1-gyel jelölve BB1 az ABCΔ súlyvonala, egyszersmind az ADCΔ középvonala, és így BB1=DA/2=sb. ‐ A megoldások száma i és k közös pontjainak száma szerint 2, 1 vagy 0. Ha 2 közös pont adódik: A és A', a két megoldás nem egybevágó, mert bennük a CBB1∢=CDA∢ különböző, hiszen A és A' nem lehet k-nak ugyanazon a sugarán.
 
Fűrész József (Tatabánya, Árpád g. II. o. t.)
 

Megjegyzés. A megoldás változata: BC felezőpontját A1-gyel jelölve A1B1C∢=BAC∢=α, így B1 egyik mértani helye az A1C szakasz α nyílású látószög-köríve, másik pedig a B körüli, sb sugarú kör; ebből B1 megszerkeszthető. Végül A a C tükörképe B1-re.
 

II. megoldás. (vázlat). Kiindulhatunk a BB1 súlyvonalból is, mert α ennek is látószöge A-ból. Legyen B tükörképe B1-re E, így ABCE paralelogramma, és EA=BC=a.
Egy egyenesre egy B1 pontjából mindkét irányban felmérjük sb-t, a végpontok B és E, ekkor A-t a BB1 szakasz α nyílású i1 látószögkörívéből az E körül a sugárral írt kör metszi ki.
 
Sas Éva (Budapest, Radnóti M. gyak. g. I. o. t.)
 

Megjegyzés. A megoldás változata: B helyett az i1 körívet tükrözzük B1-re, és a nyert i'1 körívet a B körüli a sugarú körrel metszve C-t kapjuk.