Kezdőlap


Feladat:	927. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Ambrus Gábor , Horváth László , Kuluncsich Tibor , Szalay Marianne
Füzet:	1965/április, 160 - 161. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tengelyes tükrözés, Magasságvonal, Rombuszok, Párhuzamos szelők tétele, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/szeptember: 927. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a keresett háromszög $A B C = H$ , amelyben $A B = A C$ , az $A$ -ból húzott $A D$ és a $B$ -ből húzott $B E$ magasság egyenlő az alaphoz tartozó $m_{a}$ , ill. a szárhoz tartozó $m_{b}$ adott magassággal (l. ábra). Tükrözzük $H$ -t a $D$ pontra. Így $B$ és $C$ egymás képei ‐ mert az egyenlő szárú háromszög tengelybeli magasságának talppontja felezi az alapot ‐, $A$ képe pedig legyen $F$ . A $B A C F = R$ négyszög rombusz, mert oldalai egyenlők, és ebben ismerjük a $B E$ magasságot és az $A F = 2 A D = 2 m_{a}$ átlót. Ennek alapján $R$ és vele $H$ az alábbiak szerint szerkeszthető.

1. ábra

Tetszés szerinti

d

egyenes egyik oldalán, tőle

m_{b}

távolságban vele párhuzamos

e

egyenest szerkesztünk;

d

-nek egy tetszés szerinti

A

pontja körül

2 m_{a}

sugárral

k

kört írunk, ennek

e

-vel való egyik metszéspontja

F

; ekkor

R

hátra levő

B

C

csúcsait az

A F

szakasz

f

felező merőlegese metszi ki

e

-ből, ill.

d

-ből, és a keresett háromszög

H = A B C

(vagy

F B C

H

megfelel a követelményeknek, mert

B

-ből húzott magassága

m_{b}

A

-ból húzott magassága pedig az

A F

szakasznak a

B C

-vel való

D

metszéspontig terjedő szakasza:

A D = A F / 2 = m_{a}

H

létrejön, ha

k

két pontban metszi

e

-t, azaz ha

2 m_{a} > m_{b}

, mert ekkor

A F

nem merőleges

e

-re, és így

f

metszi

e

-t (és

d

-t). Lényegében csak egy megoldás van. Könnyű belátni ugyanis, hogy ha

F

helyett

e

és

k

másik metszéspontját vennénk, vagy ha

e

-t

d

másik partján vennénk, az ugyanígy végzett szerkesztéssel

H

tükörképét kapnánk vagy arra a tengelyre, amely

A

-ban merőlegesen áll

d

-re, vagy a

d

tengelyre, vagy az

A

pontra.
Ambrus Gábor (Budapest, Berzsenyi D. g. II. o. t.)

Megjegyzés. A fentivel lényegében azonosak a következő szerkesztések: Legyen az

A D C Δ D

-ből húzott magassága

D G

. Ez párhuzamos

B E

-vel és fele akkora, mert a

C B E Δ

középvonala.

d

-re merőlegest állítunk (

G

-ben), felmérjük rá

m_{b} / 2

-t, a végpont körüli

m_{a}

sugarú kör

d

-ből kimetszi

A

-t, az

A D

-re

D

-ben állított merőleges

d

-ből kimetszi

C

-t, végül

C

-nek

D

-re vett tükörképe

B

.
Kezdhetjük a szerkesztést az

A D

tengely helyzetének (vagy ami ugyanaz, a

B C

alap egyenesének és a

D

felezőpontjának) megválasztásával is, ekkor

G

-t az

A D

fölé írt Thalész-körből a

D

körül

m_{b} / 2

sugárral írt kör metszi ki. Ugyanezt még így is mondhatjuk: a

D

körül

m_{b} / 2

sugárral írt körhöz a

D

-től

m_{a}

távolságban levő

A

pontból húzott érintők adják

H

szárait, alapját pedig a

D A

-ra

D

-ben állított merőleges.
Szalay Marianne (Budapest, I. István g. I. o. t.)
Kuluncsich Tibor (Baja, Tóth K. g. I. o. t.)

2. ábra

II. megoldás. Az I. megoldás jelöléseit használjuk, legyen továbbá

B C = a

A C = b

H

területe kétszeresének kétféle kifejezéséből

\begin{matrix} a m_{a} = b m_{b}, a : b = m_{b} : m_{a} . \end{matrix}

Eszerint ha

H^{*}

egyenlő szárú háromszöget szerkesztünk

m_{b}

-vel, mint alappal és

m_{a}

-val, mint szárral, ez hasonló a keresett

H

-hoz, tehát

H

H^{*}

-ból hasonlósági transzformációval megszerkeszthető. A 2. ábrán a hasonlóság középpontja a

B^{*} = B

pont. ‐ A szerkesztés helyességének bizonyítását az olvasóra bízzuk. ‐ A háromszög létrejön, ha

m_{a} + m_{a} > m_{b}

.
Horváth László (Szeged, Radnóti M. g. II. o. t.)