Feladat: 925. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 1965/szeptember, 10 - 11. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Binomiális együtthatók, Számelrendezések, Kombinatorikai leszámolási problémák, Kombinációk, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1964/szeptember: 925. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bármelyik T, I, S, Z betű elérése után a szó következő betűjét 2 szomszéd közül választhatjuk, vagyis a leolvasást minden betűjénél kétfelé ágaztathatjuk. A T 1-szer fordul elő, ezért a TISZA 1⋅2⋅2⋅2⋅2=16-féleképpen olvasható le.
A további válaszok céljára olyan megoldást is adunk a TISZA olvasására, amely más szerkezetű ábrák esetében is használható. Írjuk oda az a) ábrarész minden betűje helyére a b) ábrarészben a T-től kezdve azt a számot, ahányféleképpen az illető betűhöz érkezhetünk. Pl. a T-hez, az I-khez, a szélső S-ekhez 1‐1-féleképpen, a középső S-hez 2-féleképpen, ti. a két I-n át. Hasonlóan a belső Z-khez 1+2 út vezet s í. t. A keresett számot az A-khoz írt számok összege adja meg.

 
 

Az ábra c) része is ezen a módon válaszol, de a következő, kissé furcsán hangzó megállapítás alapján: annyi a TISZA-olvasás, ahányféleképpen fordítva olvasható AZSIT. ‐ A b) és c) ábrarész egymásnak megfelelő helyein álló számok szorzata ‐ a d) ábrarészen ‐ azt is megadja, hogy az egyes betűket hány leolvasás használja fel; pl. a 2. oszlopbeli Z-n 3⋅2 út halad át: 3-féle TISZ és 2-féle AZ érkezik beléje, és mindegyik TISZ mindegyik ZA-val összekapcsolható. (Mindegyik fajta betű ferde sorának összege megadja az összes olvasások számát.)
A CSERE és BERE szavak olvasásában az R-nél, a CSEREBERE esetében pedig a B-nél visszafordulás lehetséges, vagyis pl. a lefelé és jobbra haladás után az utolsó E, vagy a BERE szórész fölfelé vagy balra lépve is vehető. A CSEREBERE-ábrát bármelyik átlóján való tükrözés önmagába viszi át, ezért a CSERE-olvasások közül elég megszámlálni azokat, amelyek pl. a felső C-ből indulnak és az 1. és 2. oszlopbeli R-ek valamelyikét használják fel; a keresett szám nyilván ennek 4-szerese. A mondott R-ekbe 1, ill. 3 út vezet, a velük szomszédos E betűk száma 3, ill. 4, ezekre 1 kivételével továbbléphetünk, ti. csak arra nem, amelyiken át érkeztünk; így a beérkező utak 2, ill. 3-féleképpen fejezhetők be. Az olvasások száma ‐ a szimmetrikus eseteket is számba véve: 4(1⋅2+3⋅3)=44 (a fenti d) ábrarész gondolatával).
A BERE eset ettől csak abban tér el, hogy ekkor mindegyik R-hez 4 út vezet ‐ c) ábrarész ‐ az olvasások száma tehát 4(4⋅2+4⋅3)=80.
 
 

A CSEREBERE szóban csak a második R-nél fordulhatunk vissza, továbbá a B-nél. A visszafordulás nélküli és csak a második R-ben visszaforduló olvasások együttes száma a CSERE mintájára 4(21⋅2+35⋅3)=588. ‐ A B-nél visszaforduló olvasások összeszámlálásához már részletesebben meg kell vizsgálni a különböző lehetőségeket. Elég a 2. és a 3. oszlopbeli B-ket tekinteni, mert sarki B-n nem fordulhatunk vissza. A második B-hez a felső C-ből vívő 5 út közül 2-höz nincs fordulásos BERE-befejezés, a többi 3 közül kettőhöz 1, egyhez 2 befejezés van, együtt 4. ‐ A harmadik B-höz balról 4, fölülről 6 út érkezik. Az egyetlen irányváltozással érkező utak adnak legtöbb lehetőséget a visszakanyarodó BERE olvasásra, 4-et, ill. 3-at. Könnyű utánaszámolni, hogy a balról érkező utakhoz 4, 3, 2 és 2 befejezés tartozik, a fölülről érkezőkhöz pedig 3, 2, 1, 2, 1 és 0, mindez együtt 20, így a B-ben visszaforduló CSEREBERE-olvasások együttes száma 4(0+4+20)=96, és mindössze 684 olvasási lehetőség van.