Feladat: 919. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Karsai István 
Füzet: 1965/március, 122 - 123. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Háromszögek nevezetes tételei, Konstruktív megoldási módszer, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1964/május: 919. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a keresett háromszög szögei α, β és γ, és válasszuk a jelölést úgy, hogy α-nál ne legyen kisebb szög, és γ-nál ne legyen nagyobb, vagyis

α≤β≤γ≤90∘(1)

A kérdéses δ legkisebb eltérés csak az (1)-ben szomszédos párok
δ1=β-α,δ2=γ-β,δ3=90∘-γ(2)
különbségeinek valamelyike lehet ‐ ill. lehet többjük is, ha egyenlők ‐, mert a nem szomszédos párok különbsége nem lehet kisebb, ezért
δ≤δ1,δ≤δ2,δ≤δ3.(3)

A (2) különbségek összege
δ1+δ2+δ3=90∘-α.(4)
Másrészt
β=α+δ1,γ=β+δ2=α+δ1=α+δ2,ígyα+β+γ=3α+2δ1+δ2=180∘.(5)


α-t (4)-ből kifejezve és (5)-be helyettesítve
δ1+2δ2+3δ3=90∘.

Itt δ1, δ2, δ3 helyére (3) alapján a nem nagyobb δ-t írva a bal oldal értéke kisebb lesz, vagy változatlan marad
6δ≤90∘.
Eszerint δ nem lehet nagyobb 15∘-nál. Ezt az értékét viszont felveheti, ha mindhárom különbség egyenlő, azaz ha δ1=δ2=δ3=15∘. Ekkor
γ=90∘-δ3=75∘,β=γ-δ2=60∘,α=β-δ1=45∘,
ezek a legszabálytalanabb hegyesszögű háromszög szögei.
 

 Karsai István (Szeged, Radnóti M. g. I. o. t.)