Kezdőlap


Feladat:	918. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szalay Mihály
Füzet:	1965/február, 63 - 65. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/május: 918. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Legyen a kérdéses aránypár

\begin{matrix} x : y = z : v, azaz (1) x v = y z, \end{matrix}

így az adatok szerint fennállanak a következő további egyenletek:

\begin{matrix} x + v = y + z + a, & (2) \\ x^{2} + v^{2} = y^{2} + z^{2} + b, & (3) \\ x^{4} + v^{4} = y^{4} + z^{4} + c . & (4) \end{matrix}

Emeljük négyzetre a (2) egyenletet, és vonjuk ki a kapott egyenletből (1) kétszeresét, valamint (3)-at

\begin{matrix} 0 = 2 a (y + z) + a^{2} - b . \end{matrix}

Emeljük négyzetre (3)-at, és vonjuk ki belőle (1) négyzetének kétszeresét, valamint (4)-et

\begin{matrix} 0 = 2 b (y^{2} + z^{2}) + b^{2} - c . \end{matrix}

Így könnyen megoldható típusú kétismeretlenes egyenletrendszert kaptunk a két belső tagra. A jobb oldalakat egy‐egy betűvel jelölve

\begin{matrix} y + z & = \frac{b - a^{2}}{2 a} = d, & (5) \\ y^{2} + z^{2} & = \frac{c - b^{2}}{2 b} = e, & (6) \end{matrix}

feltéve, hogy

a \neq 0

, és

b \neq 0

, egyelőre erre az esetre szorítkozunk. Vonjuk ki (5) négyzetéből (6)-ot; osztással

\begin{matrix} y z = \frac{d^{2} - e}{2} = f . \end{matrix}

(7)

(5) és (7) alapján

y

és

z

a következő egyenlet gyökei:

\begin{matrix} u^{2} - d u + f = 0, azaz \\ y, z = u_{1,2} = \frac{1}{2} (d \pm \sqrt[]{d^{2} - 4 f}) . & (8) \end{matrix}

Az előzők felhasználásával

x

és

v

így határozható meg:
(5) és (2) alapján

\begin{matrix} x + v = d + a = \frac{b + a^{2}}{2 a} = g, \end{matrix}

másrészt (1) és (7) alapján

\begin{matrix} x v = f, \end{matrix}

ennélfogva (8)-hoz hasonlóan

\begin{matrix} x, v = \frac{1}{2} (g \pm \sqrt[]{g^{2} - 4 f}) . \end{matrix}

(9)

(8) eredményünk úgy értendő, hogy az

u

-ra vonatkozó egyenlet egyik gyökét

y

-nak, másikát

z

-nek vesszük. A megválasztás kétféleképpen lehetséges, nem kapunk azonban lényegesen különböző megoldást

y

és

z

felcserélésével, hiszen eljárásunk csupán az aránypár ismert felcserélési lehetőségeinek alkalmazását jelentené. Ugyanezek állnak (9)-re is;

x

és

v

megválasztása független

y

és

z

megválasztásától, így általában 4 nem lényegesen különböző megoldása van az (1)‐(4) egyenletrendszernek.
Az eredeti paraméterekkel kifejezve a két diszkrimináns:

\begin{matrix} D_{1} & = d^{2} - 4 f = 2 e - d^{2} = \frac{c}{b} - b - {(\frac{b - a^{2}}{2 a})}^{2}, \\ D_{2} & = g^{2} - 4 f = {(d + a)}^{2} - 4 f = 2 e - d^{2} + b = D_{1} + b, \end{matrix}

ennélfogva

\begin{matrix} y, z & = \frac{1}{2} (\frac{b - a^{2}}{2 a} \pm \sqrt[]{\frac{c}{b} - b - {(\frac{b - a^{2}}{2 a})}^{2}}), \\ x, v & = \frac{1}{2} (\frac{b + a^{2}}{2 a} \pm \sqrt[]{\frac{c}{b} - {(\frac{b - a^{2}}{2 a})}^{2}}) . \end{matrix}

y

és

z

, ill.

x

és

v

valósak, ha

D_{1} ⩾ 0

, ill.

D_{2} ⩾ 0

. Ha

D_{l}

, vagy

D_{2}

0-val egyenlő, és a másikuk pozitív, akkor a két belső, ill. a két külső tag egyenlő és mértani középarányos a további két tag között.

D_{1} = D_{2} = 0

a fentiek szerint csak

b = 0

esetén lenne lehetséges, ezt az esetet eddigi számításunkban kizártuk.
A kizárt

a = 0

esetben (1)-ből és (2)-ból adódik, hogy az

x

v

számpár tagjai valamelyik sorrendben megegyeznek

y

-nal,

z

-vel, így (3) és (4) csak

b = 0

, ill.

c = 0

mellett állhat fenn, a paraméterek nem függetlenek egymástól.

b = 0

esetén hasonlóan adódik

c = 0

(itt (1) négyzetét használjuk), viszont (3)-hoz (1) kétszeresét hozzáadva

\begin{matrix} {(x + v)}^{2} = {(y + z)}^{2}, x + v = \pm (y + z), \end{matrix}

tehát vagy

a = 0

, vagy

a = 2 (x + v)

. (Fordítva

c = 0

-ból hasonlóan adódik

b = 0

, a másik eset ‐ ti.

x^{2} + v^{2} = - (y^{2} + z^{2})

lehetetlen.)

II. Az

a = 7

b = 21

c = 2625

paraméter‐hármas esetében

d = - 2

e = 52

f = - 24

g = 5

D_{1} = 10^{2}

D_{2} = 11^{2}

, így

y

és

z

egyike

- 6

, másika 4, továbbá

x

és

v

egyike

- 3

, másika 8. A 4 aránypár egyike:

\begin{matrix} (- 3) : (- 6) = 4 : 8. \end{matrix}

Szalay Mihály (Budapest, Vörösmarty M. g., III. o. t.)