A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Legyen a kérdéses aránypár így az adatok szerint fennállanak a következő további egyenletek:
Emeljük négyzetre a (2) egyenletet, és vonjuk ki a kapott egyenletből (1) kétszeresét, valamint (3)-at Emeljük négyzetre (3)-at, és vonjuk ki belőle (1) négyzetének kétszeresét, valamint (4)-et Így könnyen megoldható típusú kétismeretlenes egyenletrendszert kaptunk a két belső tagra. A jobb oldalakat egy‐egy betűvel jelölve
feltéve, hogy , és , egyelőre erre az esetre szorítkozunk. Vonjuk ki (5) négyzetéből (6)-ot; osztással (5) és (7) alapján és a következő egyenlet gyökei:
Az előzők felhasználásával és így határozható meg: (5) és (2) alapján másrészt (1) és (7) alapján ennélfogva (8)-hoz hasonlóan (8) eredményünk úgy értendő, hogy az -ra vonatkozó egyenlet egyik gyökét -nak, másikát -nek vesszük. A megválasztás kétféleképpen lehetséges, nem kapunk azonban lényegesen különböző megoldást és felcserélésével, hiszen eljárásunk csupán az aránypár ismert felcserélési lehetőségeinek alkalmazását jelentené. Ugyanezek állnak (9)-re is; és megválasztása független és megválasztásától, így általában 4 nem lényegesen különböző megoldása van az (1)‐(4) egyenletrendszernek. Az eredeti paraméterekkel kifejezve a két diszkrimináns:
ennélfogva
és , ill. és valósak, ha , ill. . Ha , vagy 0-val egyenlő, és a másikuk pozitív, akkor a két belső, ill. a két külső tag egyenlő és mértani középarányos a további két tag között. a fentiek szerint csak esetén lenne lehetséges, ezt az esetet eddigi számításunkban kizártuk. A kizárt esetben (1)-ből és (2)-ból adódik, hogy az , számpár tagjai valamelyik sorrendben megegyeznek -nal, -vel, így (3) és (4) csak , ill. mellett állhat fenn, a paraméterek nem függetlenek egymástól.
esetén hasonlóan adódik (itt (1) négyzetét használjuk), viszont (3)-hoz (1) kétszeresét hozzáadva | | tehát vagy , vagy . (Fordítva -ból hasonlóan adódik , a másik eset ‐ ti. lehetetlen.)
II. Az , , paraméter‐hármas esetében , , , , , , így és egyike , másika 4, továbbá és egyike , másika 8. A 4 aránypár egyike:
Szalay Mihály (Budapest, Vörösmarty M. g., III. o. t.) |