Kezdőlap


Feladat:	913. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Lelkes András
Füzet:	1965/március, 121 - 122. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Deltoidok, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/április: 913. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a kérdéses háromszög $A B C$ , amelyben az $A B$ oldalhoz tartozó $C F$ súlyvonal egyenlő az adott $s_{c}$ szakasszal, az $A C F$ és $B C F$ háromszög köré írt $k_{1}$ , ill. $k_{2}$ kör sugara pedig az adott $r_{1}$ , ill. $r_{2}$ szakasszal.
$C$ , $F$ és a körök $O_{1}$ , ill. $O_{2}$ középpontja egy deltoidot alkotnak, mert $C O_{1} = F O_{1} = r_{1}$ , és $C O_{2} = F O_{2} = r_{2}$ , ez a három adott szakaszból megszerkeszthető. Ez után olyan egyenest kell szerkesztenünk $F$ -en át, melynek a $k_{1}$ -gyel és $k_{2}$ -vel való, és $F$ -től különböző metszéspontjai közti szakaszt az $F$ pont felezi, e két metszéspont lesz az $A$ , ill. $B$ csúcs. Ez ismert szerkesztés: vesszük $k_{2}$ -nek $F$ -re vonatkozó $k'_{2}$ tükörképét, ennek $k_{1}$ -gyel való ( $F$ -től különböző) metszéspontja $A$ , $B$ -t pedig az $A F$ egyenes metszi ki $k_{2}$ -ből. Az $A B C$ háromszög nyilvánvalóan megfelel a követelményeknek.

C O_{1} F O_{2}

deltoid létrejön, ha

r_{1} \geq s_{c} / 2

r_{2} > s_{c} / 2

. (A jelölést úgy választottuk, hogy

r_{1} \leq r_{2}

.) Így

O_{1}

eshet

C F

-re, de

O_{2}

nem, különben a két kör azonos lenne, holott pl.

k_{1}

nem mehet át

B

-n;

r_{1} = s_{c} / 2

esetén a háromszögben

A

-nál derékszög van. Ha a deltoid ‐ ill. elfajulás esetén a

C F O_{2}

háromszög ‐ létrejött, akkor a szerkesztés mindig befejezhető,

A

(és

B

) létrejön, mert

k_{1}

-nek és

k'_{2}

-nek egy közös pontja

F

, és a második metszéspont ettől különböző ‐ a két kör nem érintkezhet ‐,

O'_{2} F

nem mehet át

O_{1}

-en, mert az

O_{1} O_{2}

egyenestől különböző, és közös pontjuk

O_{2}

.
A feladatnak általában 2 különböző háromszög felel meg aszerint, hogy

O_{1}

-et és

O_{2}

-t a

C F

-nek ugyanegy partján választjuk (ekkor a deltoid konkáv), vagy a két partján (az előbbi esetben pl.

k_{1}

helyett

C F

-re vonatkozó

k_{1}^{*}

tükörképét használjuk).

r_{1} = r_{2}

esetén azonban csak az utóbbi megválasztás ad háromszöget, 1 megoldás van, úgyszintén

r_{1} = s_{c} / 2 < r_{2}

esetén is.

Lelkes András (Pannonhalma, Benedek-rendi g. I. o. t.)

Megjegyzések. 1. A deltoid előállítása után a szerkesztést így is befejezhetjük. Legyen az

A F

F B

O_{1} O_{2}

szakasz felezőpontja rendre

G_{1}

G_{2}

, ill.

K

. Az

O_{1} G_{1} G_{2} O_{2}

négyszög derékszögű trapéz (lehet hurkolt is, vagy elfajulhat derékszögű háromszöggé), és benne a

K F

szakasz középvonal, tehát merőleges

G_{1} G_{2}

-re. Ennek alapján az

A B

egyenest megadja az

F

-en átmenő és a

K F

-re merőleges egyenes.
2. Az

O_{1} O_{2} C

háromszögben

C O_{1} O_{2} ∢ = C O_{1} F ∢ / 2 = C A F ∢ = C A B ∢

(akkor is, ha tompaszög, ebben az esetben

C O_{1} F > 180^{\circ}

), és ugyanígy

C O_{2} O_{1} ∢ = C B A ∢

. Így az

O_{1} O_{2} C

háromszög hasonló a keresett

A B C

háromszöghöz (a csúcsok a felsorolás rendjében felelnek meg egymásnak). Eszerint a deltoid előállítása után a szerkesztés befejezhető hasonlósági transzformációval is.
3. Ajánljuk az olvasóknak az utóbbi két megoldás-vázlatban a szerkesztés helyessége bizonyításának végrehajtását.