|
Feladat: |
912. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Andréka Hajnal , Balogh K. , Bárány I. , Baranyai Zs. , Berényi J. , Csanády G. , Cziffra A. , Deák J. , Domokos L. , Domokos Zsuzsanna , Fodor Magdolna , Fűrész J. , Földvári G. , Havas János , Herényi I. , Jereb L. , Karsai I. , Karsai Kornélia , Király L. , Kiss A. , Kloknicer I. , Laborczi Z. , Lamm P. , Lévai F. , Loparits Éva , Losonci Z. , Major P. (Bp. Fazekas g.) , Malina J. , Naszódi L. , Óhegyi E. , Pláveczky Gy. , rátky Gy. , Sarkadi Nagy I. , Soltész P. , Somogyi P. , Staub Klára , Surányi L. , Szabó Z. , Szeidl L. , Szentiványi B. , Szőke G. , Tihanyi L. , Tolnay-Knefély T. , Turmezey T. , Újvári István |
Füzet: |
1965/március,
119 - 121. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Beírt háromszög, Középvonal, Magasságvonal, Feuerbach-kör, Húrnégyszögek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1964/április: 912. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megmutatjuk, hogy a kérdéses egyenlőség hegyesszögű és derékszögű háromszögben igaz, tompaszögű háromszögben nem igaz.
1. ábra Először belátjuk, hogy minden háromszögben az háromszög ‐ az ún. középháromszög ‐ csúcsai és egy szimmetrikus trapéz csúcsai, ha . a háromszög -vel párhuzamos középvonala (1. ábra), így párhuzamos -gyel, tehát merőleges -ra és felezi, más szóval az tükörképe -re. Továbbá az oldallal párhuzamos középvonal, így , és ; ezekből következik, hogy valóban egy szimmetrikus trapéz csúcsai, ha pedig , akkor egyenlő szárú háromszögéi. Eszerint az trapéz köré kör írható, más szóval a középháromszög köré írt kör átmegy az magasság talppontján. Megállapításunk további két magasság talppontjára is érvényes, eszerint a három magasság talppont rajta van a középháromszög köré írt kör kerületén. Ha az háromszög hegyesszögű, (1) első szögére , mert -nak ugyanazon ívén, a -et tartalmazó ívén nyugvó kerületi szögek. Hasonló meggondolásokkal (1) bal oldala így alakítható: ez pedig az talpponti háromszög szögeinek összege, ami , így (1) valóban igaz.
2. ábra Ha az háromszög csúcsánál derékszög van (2. ábra), akkor ide esik és , így (1) bal oldalának utolsó szöge 0. Másrészt átmegy -n. Az első két szög a körbeírt négyszög belső szöge az egymással szemben fekvő , ill. csúcsnál, így összegük , tehát (1) igaz.
3. ábra Legyen most tompaszögű háromszög (3. ábra, ). A legnagyobb oldalon levő felezőpont és magasságtalppont ebben az esetben is a egyenesnek ugyanazon a partján van, így (1) első szögére változatlanul fennáll . Viszont az egyenes szétválasztja a , pontpárt, ezért (1) második szögére , és ugyanígy a harmadikra . Ezért (1) bal oldala így alakul:
(ismét felhasználtuk a talpponti háromszög szögeinek összegét), tehát (1) valóban nem igaz.
Havas János (Budapest, Berzsenyi D. g. I. o. t.) Megjegyzés. Tompaszögű háromszögre is érvényes (1), ha minden benne fellépő szöget iránnyal ellátott, -nál kisebb forgásszögnek tekintünk, pl. szögön azt a -nál kisebb forgást értjük, amely az félegyenest átviszi az félegyenesbe (vagyis megkülönböztetjük a szög első és második szárát). Így a 3. ábrán a forgás negatív, az óramutató járásával megegyező irányú, minden más forgás pozitív. Ha viszont ‐ mint eddig tettük ‐ a szögön a forgás abszolút értékét értjük, akkor a 3. ábra háromszögére (1) úgy érvényes, hogy az első tag elé mínusz jelet teszünk, ‐ amint ez a (2) átalakításból nyilvánvaló. Ezt a kört nevezik Feuerbach-féle körnek. Ez átmegy a magasságpont és csúcsok közti szakaszok felezőpontjain is. Középpontja a magasságpont és a körülírt kör középpontja közti szakasz felezőpontja. |
|