Feladat: 912. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Andréka Hajnal ,  Balogh K. ,  Bárány I. ,  Baranyai Zs. ,  Berényi J. ,  Csanády G. ,  Cziffra A. ,  Deák J. ,  Domokos L. ,  Domokos Zsuzsanna ,  Fodor Magdolna ,  Fűrész J. ,  Földvári G. ,  Havas János ,  Herényi I. ,  Jereb L. ,  Karsai I. ,  Karsai Kornélia ,  Király L. ,  Kiss A. ,  Kloknicer I. ,  Laborczi Z. ,  Lamm P. ,  Lévai F. ,  Loparits Éva ,  Losonci Z. ,  Major P. (Bp. Fazekas g.) ,  Malina J. ,  Naszódi L. ,  Óhegyi E. ,  Pláveczky Gy. ,  rátky Gy. ,  Sarkadi Nagy I. ,  Soltész P. ,  Somogyi P. ,  Staub Klára ,  Surányi L. ,  Szabó Z. ,  Szeidl L. ,  Szentiványi B. ,  Szőke G. ,  Tihanyi L. ,  Tolnay-Knefély T. ,  Turmezey T. ,  Újvári István 
Füzet: 1965/március, 119 - 121. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Beírt háromszög, Középvonal, Magasságvonal, Feuerbach-kör, Húrnégyszögek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1964/április: 912. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy a kérdéses egyenlőség hegyesszögű és derékszögű háromszögben igaz, tompaszögű háromszögben nem igaz.

 
 
1. ábra
 

Először belátjuk, hogy minden háromszögben az A1B1C1 háromszög ‐ az ún. középháromszög ‐ csúcsai és A0 egy szimmetrikus trapéz csúcsai, ha A0A1. B1C1 a háromszög BC-vel párhuzamos középvonala (1. ábra), így párhuzamos A0A1-gyel, tehát merőleges AA0-ra és felezi, más szóval A0 az A tükörképe B1C1-re. Továbbá A1B1 az AB oldallal párhuzamos középvonal, így A1B1=AB/2=C1A=C1A0, és A1B1C1=B1C1A=B1C1A0; ezekből következik, hogy A0,A1,B1,C1 valóban egy szimmetrikus trapéz csúcsai, ha pedig A0=A1, akkor egyenlő szárú háromszögéi.
Eszerint az A0A1B1C1 trapéz köré kör írható, más szóval a középháromszög köré írt kör átmegy az AA0 magasság talppontján. Megállapításunk további két magasság talppontjára is érvényes, eszerint a három magasság talppont rajta van a középháromszög köré írt k kör kerületén. *
Ha az ABC háromszög hegyesszögű, (1) első szögére B0A1C0=B0A0C0, mert k-nak ugyanazon ívén, a C1-et tartalmazó B0C0 ívén nyugvó kerületi szögek. Hasonló meggondolásokkal (1) bal oldala így alakítható:
B0A0C0+C0B0A0+A0C0B0,
ez pedig az A0B0C0 talpponti háromszög szögeinek összege, ami 180, így (1) valóban igaz.
 
 
2. ábra
 

Ha az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van (2. ábra), akkor ide esik A0 és B0, így (1) bal oldalának utolsó szöge 0. Másrészt k átmegy C-n. Az első két szög a körbeírt A1CB1C0 négyszög belső szöge az egymással szemben fekvő A1, ill. B1 csúcsnál, így összegük 180, tehát (1) igaz.
 
 
3. ábra
 

Legyen most ABC tompaszögű háromszög (3. ábra, BAC<90). A legnagyobb oldalon levő A1 felezőpont és A0 magasságtalppont ebben az esetben is a B0C0 egyenesnek ugyanazon a partján van, így (1) első szögére változatlanul fennáll B0A1C0=B0A0C0. Viszont az A0C0 egyenes szétválasztja a B1, B0 pontpárt, ezért (1) második szögére C0B1A0=180-C0B0A0, és ugyanígy a harmadikra A0C1B0=180-A0C0B0. Ezért (1) bal oldala így alakul:
B0A0C0+360-(C0B0A0+A0C0B0)=(2)=180+2B0A0C0>180


(ismét felhasználtuk a talpponti háromszög szögeinek összegét), tehát (1) valóban nem igaz.
 
 Havas János (Budapest, Berzsenyi D. g. I. o. t.)
 

Megjegyzés. Tompaszögű háromszögre is érvényes (1), ha minden benne fellépő szöget iránnyal ellátott, 180-nál kisebb forgásszögnek tekintünk, pl. B0A1C0 szögön azt a 180-nál kisebb forgást értjük, amely az A1B0 félegyenest átviszi az A1C0 félegyenesbe (vagyis megkülönböztetjük a szög első és második szárát). Így a 3. ábrán a B0A1C0 forgás negatív, az óramutató járásával megegyező irányú, minden más forgás pozitív.
Ha viszont ‐ mint eddig tettük ‐ a szögön a forgás abszolút értékét értjük, akkor a 3. ábra háromszögére (1) úgy érvényes, hogy az első tag elé mínusz jelet teszünk, ‐ amint ez a (2) átalakításból nyilvánvaló.
*Ezt a kört nevezik Feuerbach-féle körnek. Ez átmegy a magasságpont és csúcsok közti szakaszok felezőpontjain is. Középpontja a magasságpont és a körülírt kör középpontja közti szakasz felezőpontja.