Kezdőlap


Feladat:	910. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Berényi József
Füzet:	1964/december, 219. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/április: 910. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $x$ nap az az idő, amennyi alatt az első munkás egyedül el tudja végezni a munkát. Így a másodiknak és a harmadiknak külön-külön: $x - p$ , ill. $x - q$ napra van szüksége a munka elvégzéséhez, továbbá egy nap alatt a munkának rendre $1 / x$ , $1 / (x - p)$ , $1 / (x - q)$ részét végzik el. Minthogy az első két munkás együtt ugyanannyi idő alatt tudna elkészülni a munkával, mint a harmadik egyedül, ezért a munkából 1 nap alatt elvégzett megfelelő hányadrészek is egyenlők:

\begin{matrix} \frac{1}{x} + \frac{1}{x - p} = \frac{1}{x - q} . \end{matrix}

Itt nyilván

x > p

x > q

, és kell, hogy

p < q

legyen, különben a jobb oldal kisebb volna a bal oldal második tagjánál. Innen rendezéssel

\begin{matrix} x^{2} - 2 q x + p q = 0, x_{1,2} = q \pm \sqrt[]{q (q - p)} . \end{matrix}

A feladat tartalmának csak

\begin{matrix} x_{1} = q + \sqrt[]{q (q - p}) \end{matrix}

(1)

felel meg, ekkor a 2. és a 3. munkás részére szükséges napok száma

\begin{matrix} q - p + \sqrt[]{q (q - p)}, ill. \sqrt[]{q (q - p)} . \end{matrix}

(2)

Berényi József (Debrecen, Ref. Kollégium g. I. o. t.)