Kezdőlap


Feladat:	909. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Jereb László
Füzet:	1964/december, 218 - 219. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Polinomok szorzattá alakítása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/április: 909. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $P (x) + 8$ polinomnak az ${(x + 1)}^{3}$ polinommal való oszthatósága azt jelenti, hogy létezik olyan polinom, melynek ${(x + 1)}^{3}$ -nel képezett szorzata azonos $P (x) + 8$ -cal, éspedig fokszáma egyenlő a két polinom fokszámának különbségével, $5 - 3 = 2$ -vel. Legyen ez a polinom $A x^{2} + B x + C$ , hasonlóan $P (x) - 8$ és ${(x - 1)}^{3}$ hányadosa a $K x^{2} + L x + M$ polinom, ekkor az $A$ , $B$ , $C$ és $K$ , $L$ , $M$ együtthatókat úgy kell meghatároznunk, hogy a következő két polinom azonos legyen:

\begin{matrix} (x - 1 & )^{3} (A x^{2} + B x + C) - 8 = A x^{5} + (3 A + B) x^{4} + \\ + (3 A + 3 B + C) x^{3} + (A + 3 B + 3 C) x^{2} + (B + 3 C) x + (C - 8), és \\ (x - 1 & )^{3} (K x^{2} + L x + M) + 8 = K x^{5} - (3 K - L) x^{4} + \\ + (3 K - 3 L + M) x^{3} - (K - 3 L + 3 M) x^{2} - (L - 3 M) x + (- M + 8) . \end{matrix}

Két polinom akkor és csak akkor azonos, ha bennük az ugyanazon kitevős hatványok együtthatói egyenlők. Ebből a feltételből az ismeretlen

A

B

C

K

L

M

együtthatókra a következő egyenletrendszert kapjuk:

\begin{matrix} A \end{matrix}