Feladat: 908. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Antal T. ,  Antos P. ,  Babai L. ,  Balogh K. ,  Bárány I. ,  Bokor J. ,  Deák J. ,  Dobozy O. ,  Domokos L. ,  Domokos Zsuzsanna ,  Földvári G. ,  Gloviczky P. ,  Herényi I. ,  Herszényi B. ,  Horváth B. ,  Jereb L. ,  Kafka Péter ,  Karsai I. ,  Kiss A. ,  Kloknicer I. ,  Külvári I. ,  Lelkes A. ,  Lévai F. ,  Lipták J. ,  Major P. (Bp. Fazekas g.) ,  Pintér János ,  Staub Klára ,  Surányi L. ,  Szalay Mariann ,  Szeidl L. ,  Tényi G. ,  Tolnay Knefély T. ,  Turmezey T. ,  Újvári István ,  Vadász I. ,  Vesztergombi Katalin 
Füzet: 1965/január, 21 - 22. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1964/április: 908. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Bontsuk az egyenlőtlenség B bal oldalát tagokra:

B=4a3+4b3+4c3+a2b+b2c+c2a-5ab2-5bc2-5ca2.
Itt a helyébe b-t, b helyébe c-t, c helyébe a-t, vagy pedig a helyébe c-t, c helyébe b-t, b helyébe a-t írva B-ben csak a tagok cserélődnek meg, B értéke nem változik. Ennek következtében az egyik betűről kiköthetjük, hogy pl. a legkisebb vagy legnagyobb, vagy a középső számot jelentse a három közül. Ennek alapján megpróbáljuk B-t olyan kifejezések összegévé alakítani, amelyek egyike sem lehet negatív, szükség esetén felhasználva az éppen mondott lehetőséget is.
B=4a3-4a2c+4b3-4b2a+4c3-4c2b++a2b-ab2+b2c-bc2+c2a-ca2==(a-c)(4a2-ac)+(b-a)(4b2-ab)+(c-b)(4c2-bc)==3a2(a-c)+a(a-c)2+3b2(b-a)+b(b-a)2++3c2(c-b)+c(c-b)2.
Itt a második, negyedik és hatodik tag nem lehet negatív, az első, harmadik és ötödik tag H összegéből egy különbséget kiküszöbölhetünk, ha pl. a-c helyett (a-b)+(b-c)-t írunk:
H=3(a-b)(a2-b2)+3(b-c)(a2-c2)==3(a-b)2(a+b)+3(a-c)(b-c)(a+c).
Itt az első tag ismét nem lehet negatív, továbbá ha c nem nagyobb sem a-nál, sem b-nél, amit feltehetünk a fentiek szerint, akkor a második sem negatív. Ezzel beláttuk, hogy B nem lehet negatív, nulla is csak akkor, ha a-b=b-c=c-a=0, azaz a=b=c.
 
 Kafka Péter (Pannonhalma, Benedek‐rendi Gimn. I. o. t.) és
 Pintér János (Budapest, I. István G. II. o. t.)
 dolgozatából, kiegészítésekkel
 

II. megoldás. Kézenfekvő gondolat megpróbálni az egyenlőtlenség B bal oldalát (a-b)2, (b-c)2, (c-a)2 egy‐egy pozitív értékkel szorzott értékei összegeként előállítani. Megpróbáljuk ezeket a szorzókat egyrészt a, b, c-ben első fokúnak választani, másrészt a különbségben nem szereplő betű együtthatóját 0-nak választjuk, miután B-ben nem szerepel mindhárom betűt tartalmazó tag, amint az előbbi megoldásban láttuk; végül azt is várjuk a szorzóktól, hogy a helyett b-t, b helyett c-t, c helyett a-t írva egymásba menjenek át, ugyanúgy, mint a szóban forgó különbségek, miután ez a felcserélés B-t sem változtatja meg, csak tagjait cseréli meg. Ha tehát van olyan u és v, amelyre
B=(a-b)2(au+bv)+(b-c)2(bu+cv)+(c-a)2(cu+av),
és ezek pozitívnak adódnak, akkor a feladat állítását bebizonyítottuk.
A jobb oldalon a köbös tagok együtthatója u+v, az a2b, b2c, c2a tagoké v-2u, az ab2, bc2, ca2 tagoké u-2v, tehát
u+v=4,v-2u=1,u-2v=-5
kell, hogy teljesüljön. Az egyenletrendszernek van megoldása: u=1, v=3, így a következőt nyertük:
B=4a3+4b3+4c3+a2b+b2c+c2a-5ab2-5bc2-5ca2==(a-b)2(a+3b)+(b-c)2(b+3c)+(c-a)2(c+3a)≥0.
Egyenlőség akkor áll fenn, ha a-b=b-c=c-a=0, azaz a=b=c.