Kezdőlap


Feladat:	907. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Talyigás András
Füzet:	1964/november, 155. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Logikai feladatok, Oszthatóság, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/április: 907. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mindegyik mezőre $270$ -nek valamelyik, $30$ -nál nem nagyobb osztóját kell írnunk; ezek a következők:

\begin{matrix} 30, 27, 18, 15, 10, 9, 6, 5, 3, 2, 1. \end{matrix}

(1)

Közülük

9

számot kell felhasználnunk. Számainkból a

270

-et háromtényezős szorzat gyanánt a következő alakokban állíthatjuk elő:

\begin{matrix} \begin{matrix} A : & 30 & \cdot & 9 & \cdot & 1, \\ B : & 27 & \cdot & 10 & \cdot & 1, \\ C : & 27 & \cdot & 5 & \cdot & 2, \\ D : & 18 & \cdot & 15 & \cdot & 1, \\ E : & 18 & \cdot & 5 & \cdot & 3, \\ F : & 15 & \cdot & 9 & \cdot & 2, \\ G : & 15 & \cdot & 6 & \cdot & 3, \\ H : & 10 & \cdot & 9 & \cdot & 3, \\ J : & 9 & \cdot & 6 & \cdot & 5. \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} \begin{matrix} C & H & D \\ B & 27 & 10 & 1 \\ E & 5 & 3 & 18 \\ F & 2 & 9 & 15 \end{matrix} \end{matrix}

Ezek közül hatot kell felhasználnunk a sorok és oszlopok céljára.
Minden beírt szám sor és oszlop mentén beletartozik egy szorzat-elő-állításba, így az

A

előállítást nem használhatjuk, mert a

30

-as tényező másutt nem lép fel. A további előállításokból olyan hármat kell összeválogatnunk a

3

sor számára, és más hármat az oszlopok számára, melyekben csupa különböző szám szerepel. Két ilyen képezhető: a

B

E

F

és a

C

D

H

-hármasok. Közös betűjük nincs, és együttesen ugyanazokból a számokból állnak (az (1) tényezők közül a

6

egyikben sem lép fel), ezért belőlük a kívánt beírás biztosan lehetséges. (Ha ugyanis két tényező együtt lép fel az egyik hármas valamelyik előállításában, akkor nem léphet fel együtt a másikban, hiszen két tényező meghatározza az előállítás harmadik tényezőjét.) A sorokba a

B

E

F

előállítást rendelve, éspedig az első sor tényezőit

27

10

1

sorrendben beírva ‐ az egymás utáni oszlopokban az e tényezők második előfordulását tartalmazó

C

H

D

előállításnak kell szerepelnie; a további mezőkbe a megfelelő sorhoz és oszlophoz rendelt előállítás közös tényezője jut. ‐ Más megoldás nincs.

Talyigás András Budapest, Móricz Zs. g. II. o. t.)

Megjegyzések. 1. Többen megállapították, hogy a talált elrendezésből képezhető, nem lényegesen különböző megoldások száma, a fentit is beleértve,

72 = 2 \cdot 6 \cdot 6

, ugyanis

2

lehetőség van a sorbeli hármas megválasztására és 6‐6 lehetőség a hármasokon belüli egymásutánra.
2. Kérdezhetjük, hogy a

30

-nak az (1) számok közül való törlése után melyik további számot kell még törölnünk, hiszen csak kilenc szám léphet fel. A maradó

10

szám szorzata

270^{3} \cdot 6

, így csak a

6

-os törölhető, de ezzel nem válik feleslegessé a betűhármasok összeállítása.