Kezdőlap


Feladat:	901. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1964/december, 213 - 214. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Diofantikus egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/március: 901. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A követelmény így is írható:

\begin{matrix} 0 < x \leq y \leq z . \end{matrix}

(2)

Hozzáadva (1) mindkét oldalához

x^{2}

-et, a bal oldal tényezőkre bontható:

\begin{matrix} (x^{2} + x y) + (y z + z x) = x (x + y) + z (x + y) = (x + y) (x + z) = 80 + x^{2} . \end{matrix}

Eszerint

x

-et megválasztva, majd

80 + x^{2}

-et két természetes szám szorzatára felbontva, végül a kisebb tényezőt (ha a tényezők különbözők)

x + y

-nak, a nagyobbat

x + z

-nek véve, megoldást kapunk, hacsak a kisebb tényezőből

x

-et levonva, az

y

maradék nem kisebb

x

-nél, más szóval, ha a kisebb tényező legalább

2 x

.
Legyen pl.

x = 1

, így

\begin{matrix} (y + 1) (z + 1) = 81 = 1 \cdot 81 = 3 \cdot 27 = 9 \cdot 9, \end{matrix}

és az utóbbi két felbontásból egy-egy megoldást kapunk:

\begin{matrix} \begin{matrix} I. & x = 1, & y = 2, & z = 26; \\ II. & 1, & 8, & 8. \end{matrix} \end{matrix}

x

legnagyobb szóba jövő értéke 5, mert (1) bal oldalán mindegyik tényező helyett

x

-et írva a kifejezés csökken vagy változatlan marad, tehát

3 x^{2} \leq 80

.
Végigmenve az

x = 2, 3, 4, 5

értékeken, a jobb oldalnak alább csak azokat a szorzat-felbontásait írjuk fel, amelyekben egyik tényező sem kisebb

2 x

-nél. Az

x = 3

próbálkozásból nem kapunk megoldást, mert

80 + 3^{2} = 89

prímszám,

x = 5

-ből pedig az előírt nagyságviszony miatt.

\begin{matrix} x = 2 : 84 = 4 \cdot 21 = 6 \cdot 14 = 7 \cdot 12, \\ x = 4 : 96 = 8 \cdot 12. \end{matrix}

Ezekből a következő további megoldások adódnak:

\begin{matrix} \begin{matrix} III. & x = 2, & y = 2, & z = 19; \\ IV. & 2, & 4, & 12; \\ V. & 2, & 5, & 10; \\ VI. & 4, & 4, & 8. \end{matrix} \end{matrix}

Eszerint a követelménynek megfelelő megoldások száma 6.

Megjegyzés. A megoldásban alkalmazott fogásra így is rájöhetünk. Próbálkozzunk

x = 1

-gyel. Így

\begin{matrix} y + z + y z = 80, y = \frac{80 - z}{z + 1} = \frac{81 - (z + 1)}{z + 1} = \frac{81}{z + 1} - 1, \end{matrix}

tehát

z + 1

osztója 81-nek. Általában

\begin{matrix} y = \frac{80 - x z}{x + z}, \end{matrix}

avégett, hogy az osztást itt is részben elvégezhessük, a számláló tagjait

x^{2}

-nel vagy

z^{2}

-nel kell növelnünk.

II. megoldás. Mint az I. megoldásban láttuk,

1 \leq x \leq 5

;

y

és

z

\begin{matrix} u^{2} - (y + z) u + y z = 0 \end{matrix}

egyenlet

u

-ra adódó két gyöke, feltéve, hogy ezek

x

-nél nem kisebb egész számok. Ha

y + z

-t

s

-sel jelöljük, akkor

y z = 80 - x s

, tehát azokat az

s

értékeket kell megkeresnünk, amelyekre az

\begin{matrix} u^{2} - s u + (80 - x s) = 0 \end{matrix}

egyenlet gyökei

x

-nél nem kisebb egészek. Itt

x

-nek 1-től 5-ig az egész számok választandók.
Szükséges ehhez, hogy az egyenlet diszkriminánsa négyzetszám legyen:

\begin{matrix} D = {(s + 2 x)}^{2} - 4 (80 + x^{2}) = t^{2} . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} (s + 2 x + t) (s + 2 x - t) = 4 (80 + x^{2}), és \\ y, z = \frac{s \pm t}{2} . \end{matrix}

Mivel a bal oldal két tényezője egyszerre páros vagy páratlan, a jobb oldal pedig páros, így mind a két tényező páros,

80 + x^{2}

-et

v \cdot w

alakban írva, ahol

v \geq w

\begin{matrix} s + 2 x + t = 2 v, & s + 2 x - t = 2 w, \\ s = v + w - 2 x, & t = v - w, \\ y = & \frac{s - t}{2} = w - x, & z = \frac{s + t}{2} = v - x . \end{matrix}

x

szóba jövő értékeit végigpróbálva az I. megoldásban talált 6 értékhármast kapjuk.