Kezdőlap


Feladat:	900. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Cziffra András
Füzet:	1964/december, 212 - 213. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Számsorozatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/március: 900. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az utolsó összefüggésből $a_{100} - a_{99} = 2 (a_{99} - a_{98})$ . Itt beírva sorra $a_{99}$ , majd $a_{98}$ stb. helyébe kiszámítási módjukat a sorozat előző két számából, a következőket kapjuk:

\begin{matrix} a_{100} - a_{99} = 2 (a_{99} - a_{98}) = 2 (3 a_{98} - 2 a_{97} - a_{98}) = 2^{2} (a_{98} - a_{97}) = \\ = 2^{2} (3 a_{97} - 2 a_{96} - a_{97}) = 2^{3} (a_{97} - a_{96}) . \end{matrix}

Világos, hogy minden lépésben 2 kitevője 1-gyel nő, az indexek pedig 1-gyel csökkennek, s így végül

\begin{matrix} a_{100} - a_{99} = 2^{99} (a_{1} - a_{0}) . \end{matrix}

A feltevésből következik, hogy

a_{1} - a_{0} \geq 1

, és a sorozat minden száma pozitív, így

\begin{matrix} a_{100} = 2^{99} (a_{1} - a_{0}) + a_{99} > 2^{99} . \end{matrix}

Cziffra András (Budapest, Toldy F. g. I. o. t.)

Megjegyzés. Hasonló módon belátható, hogy a

k

-adik számra

\begin{matrix} a_{k} = (2^{k} - 1) a_{1} - (2^{k} - 2) a_{0}, így \\ a_{100} = (2^{100} - 1) a_{1} - (2^{100} - 2) a_{0} = (2^{100} - 1) (a_{1} - a_{0}) + a_{0} \geq 2^{100} . \end{matrix}