Feladat: 899. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bóta Károly 
Füzet: 1964/november, 153 - 154. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Hatványösszeg, Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1964/március: 899. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az adott kifejezések egyszerűen tevődnek össze a

pq+p+2=A,pq-2q=B
kifejezésekből. Valóban, így az (1) alatti négyes: 1, A-p, B+p, A+B-1, a (2) alatti pedig: 2, A-1, B+1, A+B-2. Képezzük így az (1), ill. a (2) kifejezések négyzetösszegének D2 különbségét, mindjárt egy-egy zárójelbe foglalva az ugyanazon sorszámú tagok négyzetének különbségét, majd alakítsuk a különbséget az alábbiak szerint:
D2=(12-22)+[(A-p)2-(A-1)2]+[(B+p)2-(B+1)2]++[(A+B-1)2-(A+B-2)2]==-3+(1-p)(2A-p-1)+(p-1)(2B+p+1)+(2A+2B-3)==2(A+B-3)+2(1-p)(A-B-p-1).


Visszatérve az eredeti jelölésekre
A+B-3=(2pq+p)-(2q+1)=(p-1)(2q+1),(3)A-B-p-1=2q+1,


ezek szerint D2 utolsó alakjának két tagja egymás negatívja, bármely p, q értékpár esetén D2=0, tehát az első állítás igaz.
Hasonlóan az (1) és (2) kifejezések köbeinek összegéből képezett D3 különbség, mindjárt felhasználva az a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) azonosságot:
D3=-7+(1-p)[(A-p)2+(A-p)(A-1)+(A-1)2]++(p-1)[(B+p)2+(B+p)(B+1)+(B+1)2]++[(A+B-1)2+(A+B-1)(A+B-2)+(A+B-2)2]==(1-p)[3(A2-B2)-3(p+1)(A+B)]+[3(A+B)2-9(A+B)]==3(1-p)(A+B)(A-B-p-1)+3(A+B)(A+B-3),


és ez ‐ (3) figyelembevételével ‐ azonosan 0, tehát az (1) és (2) kifejezések köbeiből képezett összegek is egyenlők bármely p, q értékpár esetén.
A negyedik hatványok összegeire az egyenlőség nem minden p, q értékpár esetén áll fenn, pl. p=3, q=1 esetén 14+54+44+84=4976≠24+74+24+74=4834, és az ötödik hatványok összegei is különbözők.
Vannak viszont olyan p, q értékpárok, amelyekre az egyenlőség akárhányadik hatványokig fennáll, mert maguk az (1) és (2) számnégyesek is egymástól csak sorrendben különböznek. Ilyen pl. p=q=0, amikor (1) számai: 1, 2, 0, 1, a (2) számai pedig: 2, 1, 1, 0.
 
Bóta Károly (Budapest, Fazekas M. gyak. g. II. o. t.)
 

Megjegyzés. Esetünkben nem nehéz megkeresni az összes olyan p, q értékpárokat, amelyekre az (1) és (2) kifejezések ugyanazt a négy számot adják, csak más sorrendben. Ilyenkor (1)-ben vagy a második, vagy a harmadik, vagy a negyedik szám 2.
Ha pl. pq+2=2, akkor vagy p=0 és q bármi lehet, vagy q=0 és p értéke tetszés szerinti. Az (1) és (2) alatti négy kifejezés
 


p=0esetén:1,2,2q,-2q+1,ill.2,1,-2q+1,-2q;q=0esetén:1,2,p,p+1,ill.2,p+1,1,p.   
 

Hasonlóan kapjuk, ha az (1) alatti második, ill. harmadik kifejezést tesszük 2-vel egyenlővé, hogy a két számnégyes sorrendtől eltekintve megegyezik, ha p értéke 1 vagy 2 és q akármi, továbbá ha q=-12, vagy -1 és p tetszés szerinti érték, és más esetben ez nem következik be.
Ezek szerint tetszés szerinti számú olyan p, q értékpár választható, amelyek mellett az (1) és (2) kifejezés-négyesek tetszés szerinti (nem negatív) kitevős hatványainak összegei egyenlők.