A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az adott kifejezések egyszerűen tevődnek össze a kifejezésekből. Valóban, így az (1) alatti négyes: , , , , a (2) alatti pedig: , , , . Képezzük így az (1), ill. a (2) kifejezések négyzetösszegének különbségét, mindjárt egy-egy zárójelbe foglalva az ugyanazon sorszámú tagok négyzetének különbségét, majd alakítsuk a különbséget az alábbiak szerint:
Visszatérve az eredeti jelölésekre
ezek szerint utolsó alakjának két tagja egymás negatívja, bármely , értékpár esetén , tehát az első állítás igaz. Hasonlóan az (1) és (2) kifejezések köbeinek összegéből képezett különbség, mindjárt felhasználva az azonosságot:
és ez ‐ (3) figyelembevételével ‐ azonosan , tehát az (1) és (2) kifejezések köbeiből képezett összegek is egyenlők bármely , értékpár esetén. A negyedik hatványok összegeire az egyenlőség nem minden , értékpár esetén áll fenn, pl. , esetén , és az ötödik hatványok összegei is különbözők. Vannak viszont olyan , értékpárok, amelyekre az egyenlőség akárhányadik hatványokig fennáll, mert maguk az (1) és (2) számnégyesek is egymástól csak sorrendben különböznek. Ilyen pl. , amikor (1) számai: , , , , a (2) számai pedig: , , , .
Bóta Károly (Budapest, Fazekas M. gyak. g. II. o. t.) Megjegyzés. Esetünkben nem nehéz megkeresni az összes olyan , értékpárokat, amelyekre az (1) és (2) kifejezések ugyanazt a négy számot adják, csak más sorrendben. Ilyenkor (1)-ben vagy a második, vagy a harmadik, vagy a negyedik szám . Ha pl. , akkor vagy és bármi lehet, vagy és értéke tetszés szerinti. Az (1) és (2) alatti négy kifejezés
Hasonlóan kapjuk, ha az (1) alatti második, ill. harmadik kifejezést tesszük 2-vel egyenlővé, hogy a két számnégyes sorrendtől eltekintve megegyezik, ha p értéke 1 vagy 2 és q akármi, továbbá ha q=-12, vagy -1 és p tetszés szerinti érték, és más esetben ez nem következik be. Ezek szerint tetszés szerinti számú olyan p, q értékpár választható, amelyek mellett az (1) és (2) kifejezés-négyesek tetszés szerinti (nem negatív) kitevős hatványainak összegei egyenlők. |
|