A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Bontsuk fel a vizsgálandó négyszöget az átlóval az és háromszögekre (1. ábra). Az előbbinek a területe nyilvánvalóan egyenlő az háromszög területével, az utóbbié a háromszögével, így az négyszög területe egyenlő az négyszög területével.
1. ábra Bontsuk fel ezt az átlóval az és háromszögekre. Az előbbinek a területe harmadrésze az háromszög területének, az utóbbié pedig a háromszögének, így az négyszög területe ‐ tehát az négyszögé is ‐ egyenlő az és háromszögekkel kitöltött négyszög területének harmadrészével. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.
Reményi Katalin (Budapest, XI. ker. Szamuely T. ált. isk. 8. o. t.) Megjegyzés. Az utolsó lépésig csak azt használtuk fel, hogy az és , valamint és szakasz-párok egyenlők, nem volt szó az és szakaszról. Ha tehát és pl. negyedrésze volna -nek, és és ugyancsak negyedrésze -nek, akkor az négyszög területe negyedrésze lenne az négyszög területének. II. megoldás. Tükrözzük ábránkat az oldal és az szakasz közös felezőpontjára, és legyen , , , tükörképe rendre , , , (2. ábra). Így elég azt megmutatnunk, hogy az és centrálisan szimmetrikus hatszögek területeinek aránya , vagy másképpen ‐ mivel a hatszög az hatszög tükörképe, és így területük egyenlő ‐, hogy az és hatszögek területe egyenlő.
2. ábra Megrajzolva a , , és átlókat, a és háromszögek egybevágók, területük összege egyenlő az háromszög területével, mert ennek -ból induló magassága közös a háromszöggel, alapja pedig kétszerese -nak. Ugyanígy a és háromszögek területének összege egyenlő az háromszög területével. Végül a és háromszögek területének összege és az és háromszögek területének összege is egyenlő, mert a párhuzamos és egyenesekbe eső oldalaik egyenlők, és az erre merőleges magasságaik összege egyenlő a mondott két egyenes távolságával. Így az -ben és -ben keletkezett valamennyi rész-idom területeinek összege egyenlő. Ezt akartuk bizonyítani.
Hoffer Anna (Budapest, Hámán K. g. III. o. t.)
3. ábra III. megoldás. Legyen ismét és közös felezőpontja , továbbá és közös felezőpontja (3. ábra). Tükrözzük -ra a négyszöget, jelöljük , , tükörképét , , -gal; és tükörképe , ill. . A feladat állítása az ötszögre fogalmazva annak bizonyítását kívánja, hogy területe háromszor akkora, mint az ötszögé. Meghúzva a és átlókat, a ötszög a paralelogrammából úgy áll elő, hogy ahhoz a háromszöget vagy hozzáillesztjük, vagy kivágjuk belőle (az ábrán az utóbbit látjuk), és ugyanígy áll elő a ötszög a paralelogrammából és a háromszögből; lehetséges az is, hogy átmegy -n, ekkor is átmegy -n, és így mindegyik ötszög területe egyenlő a megfelelő paralelogrammáéval. Az ötszögek és részeik összehasonlításában közös alapnak a szakaszt véve elég azt belátnunk, hogy -nek fölötti magassága -szor akkora, mint -é, továbbá hogy -nak fölötti magassága -szor akkora, mint -nek fölötti magassága. Az első következik abból, hogy nyilvánvalóan , a második pedig a egyenlőségből, meggondolva még, hogy és kívánt magasságát a paralelogrammák magasságaiból, valamint fölötti magasságaikból kapjuk, mindig a nagyobból vonva ki a kisebbet.
Babai László (Budapest, VIII. ker., Somogyi B. u. ált. isk. 8. o. t.)
4. ábra IV. megoldás. Húzzuk meg az , , szakaszokat és bocsássunk merőlegest -re a , , pontokból, valamint -re -ból, -ből és -ből, legyen ezek hossza rendre , , , illetőleg , , (4. ábra). Az így háromszögre felosztott négyszög területe | | az négyszög területe pedig Elég megmutatnunk, hogy az első terület zárójeles kifejezései rendre -szor akkorák, mint a másodikban az , ill. tényező. Ez fennáll, mert az és párhuzamos oldalakkal meghatározott trapézben középvonal, így , mindkét oldalhoz -t adva , és ugyanígy . Ezzel az állítást bebizonyítottuk.
Augusztinovicz Fülöp (Sopron, Széchenyi I. g. I. o. t.)
5. ábra V. megoldás. Megmutatjuk, hogy ha két háromszögnek egy-egy szöge egyenlő, akkor területeik aránya megegyezik az egyenlő szögeket bezáró oldalak szorzatainak arányával. Legyen egyenlő a háromszög szöge az háromszög szögével, továbbá az , ill. csúcs vetülete a szemben levő oldalon , ill. (5. ábra). Ekkor, felhasználva a és derékszögű háromszögek hasonlóságát: | | Ezt így is írhatjuk: | | ahol alkalmas szám (csak a -nél, ill. -nél levő szög nagyságától függ). Ha az négyszögben párhuzamos -vel, akkor az állítás helyessége nyilvánvaló, mert a két szóban forgó négyszög egyenlő magasságú trapéz és bennük a megfelelő alap-párok aránya .
6. ábra Az ellenkező esetben az és oldalak metszéspontja a konvexség miatt ezen oldalak meghosszabbításán van; válasszuk a betűzést úgy, hogy , és így (6. ábra), legyen továbbá , , , , ezekkel | | (mind pozitívok). Az ABCD négyszög területe egyenlő az MBC és MAD háromszögek területének különbségével, EFGH-é pedig az MFG és MEH háromszögekével. E négy háromszög M-nél levő szöge közös, így fenti segédtételünk szerint
tABCD=tMBC-tMAD=k(MB⋅MC-MA⋅MD)==k[bc-(b-3f)(c-3g)]=3k(bg+cf-3fg),tEFGH=tMFG-tMEH=k(MF⋅MG-ME⋅MH)==k[(b-f)(c-g)-(b-2f)(c-2g)]=k(bg+cf-3fg),
amiből az állítás helyessége nyilvánvaló.
Kiss Árpád (Budapest, Bláthy O. erősár. ip. t. II. o. t.) Megjegyzés. A felhasznált segédtétel akkor is helyes, ha a két háromszög egy-egy szöge egymásnak kiegészítő szöge. |