Kezdőlap


Feladat:	895. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Berkes István , Hirka Ferenc , Techet Károly
Füzet:	1965/március, 116 - 118. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Pont körüli forgatás, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, Sokszögek súlypontjának koordinátái, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/február: 895. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen az $A C$ , $C B$ , $A B$ szakasz fölé az előírt módon szerkesztett egyenlő oldalú háromszög középpontja rendre $O_{1}$ , $O_{2}$ , $O$ . Elég megmutatnunk, hogy $O O_{1} = O O_{2}$ , és hogy a köztük levő szög $60^{\circ}$ , más szóval, hogy $O_{1}$ -et $O$ körül $60^{\circ}$ -kal elforgatva $O_{2}$ -be jut.

1. ábra

A vizsgálandó középpontokat a megfelelő háromszög alapjának végpontjaival összekötő egyenesek

A B

-vel

30^{\circ}

-os szöget zárnak be. Ezért

A O_{1}

C O_{2}

és

B O

, valamint

C O_{1}

B O_{2}

és

A O

párhuzamosak,

A O_{1}

és

B O_{2}

metszéspontját

D

-vel jelölve az

O A D B

idom

60^{\circ}

-os hegyes szögű rombusz,

O A D

és

O D B

pedig egybevágó szabályos háromszögek. Másrészt

C O_{1} D O_{2}

paralelogramma, és

A C O_{1}

egyenlő szárú háromszög, ezért

D O_{2} = O_{1} C = A O_{1}

O_{1}

A D

szakaszon van,

O_{2}

pedig

D B

-n, mert

C

belső pontja az

A B

szakasznak, így az

O A D

háromszöget

O

körül

O D B

-re forgatva

O_{1}

O_{2}

-re jut. E forgatás szöge

60^{\circ}

. Ezt akartuk megmutatni.

Hirka Ferenc (Budapest, Piarista g. I. o. t.)

Megjegyzések. 1. Hasonlóan könnyen belátható, hogy az

O_{1} O_{2} C

háromszöget

O_{1}

körül

60^{\circ}

-kal elforgatva

O_{2}

O

-ba jut.
2. Az állítás elfajuló esete a következő tételnek: bármely háromszög oldalai fölé kifelé egyenlő oldalú háromszögeket szerkesztve, ezek középpontjai egy szabályos háromszög csúcsai. Itt az

A B C

háromszög az

A B

egyenesszakasszá fajult el. ‐ Az idézett állítás befelé szerkesztett egyenlő oldalú háromszögekkel is helyes marad. Ennek is elfajult esete a bebizonyított állítás.

Berkes István (Budapest, Fazekas M. gyak. g. II. o. t.)

Sokan koordinátageometriával oldották meg a feladatot, ilyen a

II. megoldás. Válasszuk

X

-tengelynek az

A B

egyenest,

Y

-tengelynek az

A B

szakasz felező merőlegesét, egységnek az

A B

szakasz felét. Ekkor az egyes pontok koordinátái

A (- 1; 1)

B (0; 1)

C (c,0)

, ahol

- 1 < c < 1

2. ábra

A szabályos háromszögek oldalainak hossza

2

1 + c

1 - c

, magasságainak harmada (a középpontok ordinátáinak abszolút értéke)

\frac{1}{3} \sqrt[]{3}

(1 + c) \frac{\sqrt[]{3}}{6}

(1 - c) \frac{\sqrt[]{3}}{6}

. A szabályos háromszögek középpontjainak abszcisszái, amelyek megegyeznek az

A B

A C

B C

szakaszok felező pontjának abszcisszáival:

0

\frac{- 1 + c}{2}

\frac{1 + c}{2}

. Így a középpontok koordinátái:

\begin{matrix} O (0, \frac{\sqrt[]{3}}{3}), O_{1} (\frac{- 1 + c}{2}, - \frac{(1 + c) \sqrt[]{3}}{6}), O_{2} (\frac{1 + c}{2}, - \frac{(1 - c) \sqrt[]{3}}{6}) . \end{matrix}

Számítsuk ki az

O O_{1} O_{2}

háromszög oldalainak a négyzetét:

\begin{matrix} O O_{1}^{2} = {(\frac{- 1 + c}{2})}^{2} + {(- \frac{(1 + c) \sqrt[]{3}}{6} - \frac{\sqrt[]{3}}{3})}^{2} = \\ = \frac{{(1 - c)}^{2}}{4} + \frac{{((3 + c) \sqrt[]{3})}^{2}}{36} = 1 + \frac{c^{2}}{3}, \\ O_{1} O_{2}^{2} = {(\frac{1 + c}{2} - \frac{- 1 + c}{2})}^{2} + {(- \frac{(1 - c) \sqrt[]{3}}{6} + \frac{(1 + c) \sqrt[]{3}}{6})}^{2} = \\ = 1 + \frac{{(2 c \sqrt[]{3})}^{2}}{36} = 1 + \frac{c^{2}}{3}, \\ O_{2} O^{2} = {(- \frac{1 + c}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt[]{3}}{3} + \frac{(1 - c) \sqrt[]{3}}{6})}^{2} = \frac{{(1 + c)}^{2}}{4} + \frac{{((3 - c) \sqrt[]{3})}^{2}}{36} = 1 + \frac{c^{2}}{3} . \end{matrix}

Ezek egyenlők, tehát az

O O_{1} O_{2}

háromszög szabályos.

Techet Károly (Budapest, József A. g. II. o. t.)