Kezdőlap


Feladat:	891. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Domokos László
Füzet:	1964/november, 142 - 143. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Számhármasok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/február: 891. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. A feltételeket felhasználva kiszámítjuk a $p^{2} + q^{2} - r^{2}$ kifejezést:

\begin{matrix} p^{2} + q^{2} - r^{2} = {(a - α s)}^{2} + {(b - β s)}^{2} - {(c - γ s)}^{2} = (a^{2} + b^{2} - c^{2}) - \\ - 2 s (a α + b β - c γ) + s^{2} (α^{2} + β^{2} - γ^{2}) = 0 - 2 s^{2} + 2 s^{2} = 0, \end{matrix}

ez igazolja az állítást.

II. Megfelelő számhármasok pl.

a = - 1

b = 0

c = 1

;

α = - 1

β = 1

γ = 0

. Ezekből,

s = 1

p = 0

q = - 1

r = 1

, majd

a' = p = 0

b' = q = - 1

c' = r = 1

-ből hasonlóan

s' = - 1

p' = - 1

q' = 0

r' = 1

. A másodszorra kapott számhármas azonos

a

b

c

-vel.
Tetszetősebb eredményt várunk

0

-mentes és egyenlő számokat nem tartalmazó számhármasoktól. Ilyen a következő számítás:

\begin{matrix} \begin{matrix} a, & b, & c; & α, & β & γ; & s; & p, & q, & r \\ 3 & 4 & 5 & 11 & 5 & 12 & - 7 & 80 & 39 & 89 \\ 80 & 39 & 89 & 11 & 5 & 12 & 7 & 3 & 4 & 5 \end{matrix} \end{matrix}

de ez is visszavezetett

a

b

c

-hez.
Az

α

β

γ

számhármast változatlanul hagyva mindig így végződik a második számítás, ugyanis

\begin{matrix} s' = p α + q β - r γ = (a α + b β - c γ) - s (α^{2} + β^{2} - γ^{2}) = - s, \end{matrix}

és így

p' = p + α s = a, q' = b, r' = c .

Domokos László, (Tatabánya, Árpád g. II. o. t.)