|
Feladat: |
890. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Arányi Péter , Bárány I. , Baranyai Zs. , Bóta K. , Deák J. , Domokos Zsuzsanna , Fodor Magdolna , Halász Szilvia , Horváth J. (Bp., Fazekas g.) , Huhn A. , Karsa Kornélia , Király L. , Kiss A. , Kloknicer J. , Kotsis Erzsébet Kinga , Kövér Á. , Laczkovich M. , Major P. (Bp. Fazekas g.) , Malina J. , Mátrai M. , Nagy Klára , Siket Aranka , Szeidl L. , Szentiványi B. , Tolnay-Knefély T. , Treer Mária , Trieb K. , Vesztergombi Katalin |
Füzet: |
1965/február,
60 - 62. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Inverzió, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Körérintési szerkesztések, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1964/január: 890. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. a) Az alábbi 3 észrevételre támaszkodva alkalmas sorrendben kifejezzük a körök sugarait és középpontjuk távolságát az ábra alkalmas pontjaitól, az ábra befoglaló körének sugarával, ezek alapján az ábra megszerkeszthető lesz. A 2. ábra jelöléseit használjuk. 1. ábra
2. ábra I. Az 1. ábrán 11 kör és 2 egyenesszakasz látható; az ábra szimmetrikus a 2. ábra egyenesére. II. A és körök -nek felezőpontjában érintik egymást. III. A egyenesszakasz párhuzamos -vel. Az I. észrevétel szerint a kör átmérője, a középpontja. A 4 tükrös körpárból, valamint az egyenesszakasz‐párból elég 1‐1 kört, ill. szakaszt megszerkesztenünk, továbbá felhasználhatjuk, hogy és az átmérőn van. II. szerint az egyenes ugyancsak átmérőt metsz ki -ból, ezen van és érintkezési pontja, , és így . Az derékszögű háromszögben és érintkezése miatt , , mert -ban érinti -t, és így Pythagoras tétele alapján
Legyen vetülete -n , -n , és , . érintkezései miatt , , , és így az , , derékszögű háromszögekből
ugyanis , másrészt a fentiek szerint , és így hasonlóan . Kivonva (1)-ből (2)-t, majd (3)-at, és felhasználva a kínálkozó szorzattá alakítási lehetőségeket, valamint eddigi eredményeinket:
és ezeket (1)-be helyettesítve amiből , . A második gyökkel , , vagyis és -t kapjuk, amely valóban ugyancsak belülről érinti -t, és kívülről érinti -et, -t, most azonban nem ezt keressük. Így , , , vagyis , . érinti -t, -et és -t, így -t -vel jelölve az és derékszögű háromszögekből, figyelembevételével | | kiküszöbölésével , ebből pedig . érinti -et és -et, és az -n van; jelöléssel , és az , derékszögű háromszögekből | | Az utóbbit az előbbiből kivonva | | és ezt az előbbibe helyettesítve | | A második gyökkel , vagyis ekkor a keresett kör középpontja azonos -lal, és a sugár abszolút értéke . Eszerint -ként maga jön szóba. Valóban megfelel a fenti követelményeknek, de -gyel és -gyel belső érintkezésben van a várt külső érintkezéssel szemben; ezt fejezi ki negatív volta. A számunkra megfelelő gyök , evvel . A III. észrevétel szerint a szakasz távolsága -től , vagyis meghosszabbítása átmegy -en. Végül érinti -t belülről, -et kívülről és a egyenest. Az és derékszögű háromszögekből jelöléssel, felhasználva az előbbi megállapítást is, | | amiből , és .
b) Mindezek alapján az 1. ábra pl. a következő lépésekben szerkeszthető: ‐1. Az sugarú körben megrajzoljuk az egymásra merőleges és átmérőket. ‐ 2. körül sugárral kört írunk, ez -t az , pontokban ( az negyedköríven), az egyenes -t -ben metszi. Megszerkesztjük e vonalak -re való tükörképét (ezt a továbbiak során is mindig megtesszük, bár külön nem említjük). Az körül sugárral írt kör , ennek -fel való metszéspontja , a -nek -t tartalmazó partján. ‐ 3. Az félegyenesre felmérjük az szakaszt, a egyenessel -ből kimetsszük -t, az körül sugárral írt kör . ‐ 4. Az -n átmenő, -vel párhuzamos egyenes -et -ban, -t -ban metszi (-nek -t tartalmazó partján), az körül sugárral írt kör . ‐ 5. Az körül sugárral írt kör -t -ben és -ban metszi, a egyenes -ből kimetszi -t; felmérjük -t az és félegyenesre, a végpont , ill. , az körül sugárral írt kör . ‐ 6. Az szakaszt 7 egyenlő részre osztjuk, az -tól számított negyedik osztópont ; az félegyenesnek -gyel való metszéspontja ; az körül sugárral írt kör . ‐ 7. Az szakaszt 4 egyenlő részre osztjuk, az -től számított első osztópont ; oldalú négyzetet szerkesztünk, ennek középpontja ; az szakaszt felmérjük az -ben -re állított merőlegesre (a -t tartalmazó parton), a végpont ; végül az körül sugárral írt kör . A közölt eljárás lépéseinek helyessége az a) részben végzett számítások alapján bizonyítható. Ennek végrehajtását ‐ hely hiányában ‐ az olvasóra hagyjuk.
Treer Mária (Budapest, Kaffka M. g. III. o. t.) Kotsis Erzsébet Kinga (Budapest, Fehérvári úti 12 évf. isk. II. g. o. t.)
Megjegyzés. Inverzió módszerével a szerkesztés számítások nélkül is elvégezhető, másrészt a számítások nagy része is egyszerűbben végezhető. Arányi Péter (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. II. o. t.) Az ábrán és az alábbi pótlandó.Lásd pl. Faragó László‐Forgó Péterné: Geometriai szerkesztések 2. kiadás (Középiskolai Szakköri Füzetek, Tankönyvkiadó, Budapest, 1954) 19‐27. o. |
|