Kezdőlap


Feladat:	889. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Babai László
Füzet:	1964/október, 65. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek nevezetes tételei, Lefedések, Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/január: 889. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ábrának a feladat szövegében nem említett vonalai az $A B$ , $A D$ és $D B$ átmérő fölötti félkörök, ill. a $C D$ átmérő fölötti kör.

A két módon csíkozott területrészekhez hozzávesszük a kör területének csíkozatlan részét, és az így megnövelt területekről mutatjuk meg, hogy egyenlők. A vízszintesen csíkozott részeket így kiegészítve éppen a kör belsejét kapjuk, a függőlegesen csíkozott területek kiegészítésével pedig a három félkör által határolt területet, amit úgy kapunk, hogy az átfogó fölötti félkör területéből kivonjuk a két kisebb félkör területét. Azt kell tehát belátnunk, hogy

\begin{matrix} \frac{{\bar{C D}}^{2} π}{4} = \frac{{\bar{A B}}^{2} π}{8} - \frac{{\bar{A D}}^{2} π}{8} - \frac{{\bar{D B}}^{2} π}{8} . \end{matrix}

Valóban, figyelembe véve a

{\bar{C D}}^{2} = \bar{A D} \cdot \bar{D B}

és

\bar{A B} = \bar{A D} + \bar{D B}

összefüggéseket, a jobb és bal oldal különbsége 0, tehát az állítás igaz.

Babai László (Budapest, VIII. Somogyi B. u. ált. isk. 8. o. t.)