|
Feladat: |
886. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Arányi P. , Babai László , Bárány I. , Baranyai Zs. , Bóta Károly , Czina Ferenc , Deák J. , Dobozy Ottó , Domokos Zsuzsanna , Dömötör B. , Fodor Magdolna , Füvesi I. , Gloviczki P. , Gulyás M. , Huhn A. , Kálmán A. , Király L. , Kiss Katalin , Kövér Ákos , Laczkovich M. , Lamm P. , Major P. , Malina János , Mátrai Miklós , Nagy Klára , Nagy Zsuzsa , Németh L. , Siket Aranka , Simonovits András , Staub Klára , Steiner György , Sükösd Csaba , Szabó Mihály , Torma K. , Treer Mária , Varga Mária , Vesztergombi Katalin , Vicsek Tamás |
Füzet: |
1964/október,
62 - 64. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Irracionális számok és tulajdonságaik, Egyenlőtlenségek, Számsorozatok, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1964/január: 886. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Elég kiszámítani a négyzetgyökök közelítő értékét az első négy tizedes jegyig: | | ezekből a különbség kisebb, mint tehát ezredrészre kerekítve valóban . Hasonló tulajdonságú számpárokat keresve megjegyezzük, hogy az adott négyzetgyökök egész része többszöröse 3-nak, közelítő értékük tört része közel áll -hoz, tehát a két négyzetgyöknek egy‐egy közelítő értéke a szám, ahol , ill. 5. Figyelembe véve az 1211. feladat megoldását, azt sejtjük, hogy mindenesetre megfelelő számpárt kapunk, ha a kifejezést ‐ ahol -t továbbra is egész számnak gondoljuk ‐ egészre kerekítjük, az így kapott kifejezésbe egymás után behelyettesítjük a számokat: 448, 584, 738, 910, 1100, , és vesszük az így adódó számsorozat bármely két egymás utáni tagját. Megmutatjuk, hogy e sorozat bármely két egymás utáni tagjának különbsége valóban -nél kevesebbel tér el 3-tól. A két tag egész része , ill. , ugyanis pl. | | tehát az egész részek különbsége 3. További részük pedig mindig és , azaz és közé esik, ugyanis (1)-nek és (2) második tagjának különbségére felső korlátot kapunk, ha a számlálót gyöktelenítjük, majd a nevező mindkét tagja helyett a kisebb -t írjuk: | | és ez a felső korlát esetén kisebb -nél. Így (2) tagjaiban az egész rész utáni részek egymástól való eltérése is kisebb -nél. Ezzel állításunkat bebizonyítottuk. Tetszés szerinti számú olyan számpárt kaptunk tehát, melyeknél szintén fennáll az adottakra kimondott tulajdonság. Egyébként a nyert sorozat szomszédos tagjainak már -tól kezdve megvan a kérdéses tulajdonsága: , , , az egész utáni részek különbsége az első kettő esetében még fölötte, az utóbbi kettőében már alatta van -nek.
Siket Aranka (Makó, József A. g. III. o. t.)
Megjegyzések. 1. A fenti számsorozat csupán egyike az alább vázolt meggondolás szerint nyerhető sorozatoknak, melyek egymás utáni szomszédos tag-párjai szintén egyre kisebb számmal térnek el a 3-tól. Legyen , természetes számpár és . Ekkor így a négyzetgyökök összegében az egész utáni résznek egy közelítő értéke , vagy , vagy 0, tehát ahol természetes szám és , vagy 1, vagy 2. Így
ahol természetes szám és az 1, 2, 3, 4, 5 számok egyike (kizártuk a értéket, mert arra az érdektelen esetre vezet, melyben és egészek). A fenti sorozat (3)-ból a és esetben adódik, ha és négyzetét lefelé kerekítjük. Hasonlóan , és esetén és felfelé kerekítéssel és a ( egész) sorozat tagjai. A fentiekhez hasonlóan lehet általában bizonyítani, hogy a kívánt tulajdonság fennáll bármely szomszédos tagpárra, hacsak -t nagyobbnak választjuk egy bizonyos értéknél (itt -tól kezdve: , ).
2. Nyilvánvaló, hogy nem adtunk meg minden megfelelő számpárt. Nagyobb -eket véve a függvény növekedése kisebb mértékű, pl. négyzete: után egységgel következik az első négyzetszám, a tizedes vessző utáni rész változása is egyre lassúbb, ezért egy‐két kezdő tizedes jegy megismétlődésében semmi váratlan nincs. Pl. és négyzetei: , ill. között 1000 természetes szám van, és közülük 999 nem teljes négyzet, hasonlóan a számok négyzetei: között 1000 nem teljes négyzet van; véve mármost gyanánt az utóbbiak, gyanánt az előbbiek bármelyikét: olyan , egész számpárt kaphatunk, melyekre a számok közé esik, tehát ezredrészre kerekítve -t ad. K.M.L. 27 (1963/10) 59. o.; elolvasását a szerkesztőség ajánlotta a kitűzéssel egyidejűen. |
|