Feladat: 886. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Arányi P. ,  Babai László ,  Bárány I. ,  Baranyai Zs. ,  Bóta Károly ,  Czina Ferenc ,  Deák J. ,  Dobozy Ottó ,  Domokos Zsuzsanna ,  Dömötör B. ,  Fodor Magdolna ,  Füvesi I. ,  Gloviczki P. ,  Gulyás M. ,  Huhn A. ,  Kálmán A. ,  Király L. ,  Kiss Katalin ,  Kövér Ákos ,  Laczkovich M. ,  Lamm P. ,  Major P. ,  Malina János ,  Mátrai Miklós ,  Nagy Klára ,  Nagy Zsuzsa ,  Németh L. ,  Siket Aranka ,  Simonovits András ,  Staub Klára ,  Steiner György ,  Sükösd Csaba ,  Szabó Mihály ,  Torma K. ,  Treer Mária ,  Varga Mária ,  Vesztergombi Katalin ,  Vicsek Tamás 
Füzet: 1964/október, 62 - 64. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Irracionális számok és tulajdonságaik, Egyenlőtlenségek, Számsorozatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1964/január: 886. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elég kiszámítani a négyzetgyökök közelítő értékét az első négy tizedes jegyig:

330=18,1659...:,230=15,1657...,
ezekből a különbség kisebb, mint
18,1660-15,1657=3,0003,
tehát ezredrészre kerekítve valóban 3,000.
Hasonló tulajdonságú számpárokat keresve megjegyezzük, hogy az adott négyzetgyökök egész része többszöröse 3-nak, közelítő értékük tört része közel áll 1/6=0,1666...-hoz, tehát a két négyzetgyöknek egy‐egy közelítő értéke a
3k+16(1)
szám, ahol k=6, ill. 5. Figyelembe véve az 1211. feladat megoldását1, azt sejtjük, hogy mindenesetre megfelelő számpárt kapunk, ha a
(3k+16)2=9k2+k+136
kifejezést ‐ ahol k-t továbbra is egész számnak gondoljuk ‐ egészre kerekítjük, az így kapott 9k2+k kifejezésbe egymás után behelyettesítjük a k=7,8,9,... számokat: 448, 584, 738, 910, 1100, ..., és vesszük az így adódó számsorozat bármely két egymás utáni tagját.
Megmutatjuk, hogy e sorozat bármely két egymás utáni tagjának
9(k+1)2+(k+1)-9k2+k(2)
különbsége valóban 1/1000-nél kevesebbel tér el 3-tól. A két tag egész része 3k, ill. 3(k+1), ugyanis pl.
3k=9k2<9k2+k<9k2+6k+1=3k+1,
tehát az egész részek különbsége 3. További részük pedig mindig
16-11000 és 16, azaz 0,165666... és 0,166666... közé esik, ugyanis (1)-nek és (2) második tagjának különbségére felső korlátot kapunk, ha a számlálót gyöktelenítjük, majd a nevező mindkét tagja helyett a kisebb 3k-t írjuk:
(3k+16)-9k2+k=(3k+16)2-(9k2+k)3k+16+9k2+k<1363k+3k=1216k,
és ez a felső korlát k≧6 esetén kisebb 1/1000-nél. Így (2) tagjaiban az egész rész utáni részek egymástól való eltérése is kisebb 1/1000-nél. Ezzel állításunkat bebizonyítottuk.
Tetszés szerinti számú olyan számpárt kaptunk tehát, melyeknél szintén fennáll az adottakra kimondott tulajdonság. Egyébként a nyert sorozat szomszédos tagjainak már k=3-tól kezdve megvan a kérdéses tulajdonsága: 38=6,1644..., 84=9,1651..., 148=12,1655..., az egész utáni részek különbsége az első kettő esetében még fölötte, az utóbbi kettőében már alatta van 5/104-nek.
 
 Siket Aranka (Makó, József A. g. III. o. t.)
 
Megjegyzések. 1. A fenti számsorozat csupán egyike az alább vázolt meggondolás szerint nyerhető sorozatoknak, melyek egymás utáni szomszédos tag-párjai szintén egyre kisebb számmal térnek el a 3-tól. Legyen a, b természetes számpár és a-b≈3. Ekkor
a+b=a-ba-b≈a-b3,
így a négyzetgyökök összegében az egész utáni résznek egy közelítő értéke 1/3, vagy 2/3, vagy 0, tehát
a+b=m+n/3,
ahol m természetes szám és n=0, vagy 1, vagy 2. Így
(a+b)-(a-b)=2b≈(m-3)+n/3,b≈p+q6,a≈p+3+q6,(3)


ahol p természetes szám és q az 1, 2, 3, 4, 5 számok egyike (kizártuk a q=0 értéket, mert arra az érdektelen esetre vezet, melyben a és b egészek).
A fenti sorozat (3)-ból a p=3k és q=1 esetben adódik, ha a és b négyzetét lefelé kerekítjük. Hasonlóan p=3k+1, és q=2 esetén és felfelé kerekítéssel a és b a 9k2+8k+2 (k egész) sorozat tagjai. A fentiekhez hasonlóan lehet általában bizonyítani, hogy a kívánt tulajdonság fennáll bármely szomszédos tagpárra, hacsak k-t nagyobbnak választjuk egy bizonyos értéknél (itt k=8-tól kezdve: 642=25,33771..., 803=28,33725...).
 
2. Nyilvánvaló, hogy nem adtunk meg minden megfelelő számpárt. Nagyobb x-eket véve a x függvény növekedése kisebb mértékű, pl. 106 négyzete: 1012 után 2⋅106+1 egységgel következik az első négyzetszám, a tizedes vessző utáni rész változása is egyre lassúbb, ezért egy‐két kezdő tizedes jegy megismétlődésében semmi váratlan nincs. Pl. 106-25/105 és 106+25/105 négyzetei: 1012-500+625/1010, ill. 1012+500+625/1010 között 1000 természetes szám van, és közülük 999 nem teljes négyzet, hasonlóan a 106+3±25/105 számok négyzetei: (106+3)2±500±15/104+625/1010 között 1000 nem teljes négyzet van; véve mármost a gyanánt az utóbbiak, b gyanánt az előbbiek bármelyikét: 999000 olyan a, b egész számpárt kaphatunk, melyekre a-b a 3±5/104 számok közé esik, tehát ezredrészre kerekítve 3,000-t ad.
1K.M.L. 27 (1963/10) 59. o.; elolvasását a szerkesztőség ajánlotta a kitűzéssel egyidejűen.