Kezdőlap


Feladat:	885. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Malina János
Füzet:	1964/október, 61 - 62. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Másodfokú diofantikus egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/január: 885. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A vizsgálandó kifejezések:

\begin{matrix} x^{2} - y^{2} = m^{6} + (2 p - 9) m^{4} n^{2} + (p^{2} - 6 q) m^{2} n^{4} - q^{2} n^{6}, & (1) \\ x^{2} - 3 y^{2} = m^{6} + (2 p - 27) m^{4} n^{2} + (p^{2} - 18 q) m^{2} n^{4} - 3 q^{2} n^{6} . & (2) \end{matrix}

I. A követelmény (1)-re akkor teljesül, ha találunk olyan

r

egész számot, amellyel

m^{2} - r n^{2}

köbe azonos (1) jobb oldalával, vagyis a két kifejezés együtthatói páronként megegyeznek:

\begin{matrix} 2 p - 9 = - 3 r, & (3) \\ p^{2} - 6 q = 3 r^{2}, & (4) \\ q^{2} = r^{3}, & (5) \end{matrix}

és amellyel

p

q

is egészek. Eszerint

q^{2}

-nek teljes köbnek kell lennie, akkor pedig egyszersmind teljes hatodik hatvány is:

q^{2} = s^{6}

, ahol

s

egész szám, ezért egyrészt

q = \pm s^{3}

, másrészt

r^{3} = s^{6}

-ból

r = s^{2}

. Így (3)-ból

\begin{matrix} p = \frac{1}{2} (9 - 3 r) = \frac{1}{2} (9 - 3 s^{2}), \end{matrix}

tehát (4)-ből

\begin{matrix} \frac{1}{4} (81 - 54 s^{2} + 9 s^{4}) \mp 6 s^{3} = 3 s^{4}, \\ s^{2} (s^{2} \pm 8 s + 18) = 27. \end{matrix}

Ennek alapján kevés próbálgatással meghatározhatjuk a megfelelő

p

q

r

számokat.

s^{2}

négyzetszám, és osztója 27-nek, így csak

s^{2} = 1

és

s^{2} = 9

jön szóba.

\begin{matrix} s^{2} = r = 1 esetén (3)-ból p = 3, és így (4)-ből q = 1; \\ s^{2} = r = 9 esetén (3)-ból p = - 9, és így (4)-ből q = - 27. \end{matrix}

Mindkét esetben (5) is teljesül, tehát két megfelelő

p

;

q

értékpár van:

\begin{matrix} p = 3, q = 1 esetén x^{2} - y^{2} = {(m^{2} - n^{2})}^{3}, \\ p = - 9, q = - 27 esetén x^{2} - y^{2} = {(m^{2} - 9 n^{2})}^{3} . \end{matrix}

II. Hasonlóan (2) jobb oldala azonos az

{(m^{2} - R n^{2})}^{3}

kifejezéssel, ha

\begin{matrix} 2 p - 27 = - 3 R, & (6) \\ p^{2} - 18 q = 3 R^{2}, & (7) \\ 3 q^{2} = R^{3}, & (8) \end{matrix}

ahol

R

egész szám. (8)-ból

R

osztható 3-mal,

R = 3 S

, így

q^{2} - 9 S^{3}

, majd

S = T^{2}

, (

S

T

egész), tehát

q = \pm 3 T^{3}

és

R = 3 T^{2}

. Most már (6)-ból, majd (7)-ből

\begin{matrix} p = \frac{1}{2} (27 - 3 R) = \frac{9}{2} (3 - T^{2}), \frac{81}{4} (9 - 6 T^{2} + T^{4}) \mp 54 T^{3} = 27 T^{4}, \\ T^{2} (T^{2} \pm 8 T + 18) = 27. \end{matrix}

Eszerint

T^{2}

értéke 1 vagy 9, ezért

R

értéke 3, ill. 27, így (6)-ból, majd (7)-ből az első esetben

p = 9

q = 3

, a második esetben

p = - 27

q = - 81

, és mindkét esetben (8) is teljesül. Ezek szerint az adott kifejezésekkel

\begin{matrix} p & = 9, q = 3 esetén x^{2} - 3 y^{2} = {(m^{2} - 3 n^{2})}^{3} . \\ p & = - 27, q = - 81 esetén x^{2} - 3 y^{2} = {(m^{2} - 27 n^{2})}^{3} . \end{matrix}

Ezzel a feladat megoldását befejeztük.

Malina János (Budapest, Fazekas M. gyak. g. II. o. t.)