Kezdőlap


Feladat:	884. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Kálmán András
Füzet:	1964/október, 60 - 61. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Oszthatóság, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/január: 884. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A második számot kivéve a többi négy minden olyan számrendszerben összetett számot ad, amelynek alapszáma 3, vagy ennél nagyobb egész szám ‐ más szóval, amelyben a 0, 1, 2 számjegyek használatosak, ill. van három különböző számjegyük $A$ , $B$ , $C$ helyettesítésére. Ugyanis e számok szorzat alakban írhatók:

\begin{matrix} 12 002 110 = 1 200 211 \cdot 10, 121 212 = 12 \cdot 10 101, \\ 102 102 = 102 \cdot 1001, \bar{A B C A B C} = \bar{A B C} \cdot 1001, \end{matrix}

és egyik felírt tényező sem lehet 1.

A második szám is minden

b

(egész) alapszámú számrendszerben összetett szám, mert páros szám. Ugyanis átrendezéssel,

b

-nek egyenlő számjegyekkel szorzott hatványait összefoglalva így írható:

\begin{matrix} 2 (b^{9} + b^{8} + b^{4} + 1) + b (b^{6} + b^{4} + b^{2} + 1) \end{matrix}

(a kitevők a tízes számrendszerben értendők), és itt a második zárójel értéke páratlan

b

esetén is páros, mert páratlan szám hatványai páratlanok, és 4 páratlan szám összege páros. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.

Kálmán András (Budapest, Petőfi S. g. II. o. t.)

Megjegyzés. A második szám páros volta a 3-as alapszámra szorítkozva abból is belátható, hogy bármely

b

alapszámú számrendszerben az alapszámnál 1-gyel kisebb számmal való oszthatóságra ugyanaz az ismertetőjel érvényes, mint a tízes rendszerben a 9-cel való oszthatóságra. Ugyanis ez utóbbinak megállapításában csak azt használtuk fel, hogy bármely pozitív egész kitevő esetén

b^{n} - 1

osztható

b - 1

-gyel, tehát

b^{n} (b - 1) D + 1

, ahol

D

egész szám, és így pl. az

\begin{matrix} \bar{A B C} = A b^{2} + B b + C = A \cdot [(b - 1) D + 1] + B \cdot [(b - 1) + 1] + C = \\ = (b - 1) (A \cdot D + B) + (A + B + C) \end{matrix}

szám

b - 1

-gyel való osztásánál fellépő maradék megegyezik az

A

B

C

számjegyek összegének

b - 1

-gyel való osztása során adódó maradékkal. A második vizsgálandó számban a számjegyek összege 12 (tízes rendszerben értve), páros, így maga a szám is páros.