Feladat: 883. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Stangl Ernő 
Füzet: 1964/október, 59 - 60. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Paraméteres egyenletrendszerek, Egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1964/január: 883. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A harmadik összefüggés szerint x az a-tól, a negyedik szerint y az x-től függ, így az első két összefüggés szerint A+B értékét végső soron a értéke határozza meg. A+B értékét azonban általában már az első két összefüggésből meghatározhatjuk:

1A=x+y-1y,1B=1-x-y1-x=x+y-1x-1,
a két kifejezés számlálója azonos. Így
A+B=y+(x-1)x+y-1=1.(1)

Meg kell azonban állapítanunk eredményünk érvényességének feltételeit. A, ill. B értelmezve van, ha
y≠0,   és   1A≠0,   azaz   1-xy≠1,   vagyis   1-x≠y,x+y-1≠0;1-x≠0,   és   1B≠0,   azaz   y1-x≠1,   vagyis   x≠1,   és   x+y-1≠0.


Elegendő lesz az utóbbi két feltételt vizsgálnunk, mert ezek teljesülése esetén az (1)-beli osztás is elvégezhető, továbbá a negyedik összefüggésből nem adódhat y=0.
y nincs értelmezve az x=0 esetben, ezt azonban a≠1 kizárja. x nincs értelmezve, az a=1 eseten túlmenve, a=0 esetén sem, ezt ki kell zárnunk.
x=1 csak a=1/a esetén adódnék, ezt a≠±1 kizárja. Végül az x+y-1≠0 feltétel a negyedik, majd a harmadik összefüggés és az eddigiek figyelembevételével így alakul:
x-1x≠0,x2≠1,x≠-1,a-1≠1-1a,
a2-2a+1=(a-1)2≠0, ami ismét teljesül.
 
Mindezek szerint A+B=1, ha a≠-1, 0, 1.
 
 Stangl Ernő (Pannonhalma, Benedek-rendi g. II. o. t.)