Feladat: 880. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Székely Gábor ,  Vicsek Tamás 
Füzet: 1964/november, 141 - 142. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Síkidomok átdarabolása, Terület, felszín, Diszkusszió, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1963/december: 880. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Írjuk a kívánt körívet az ABC háromszög BC oldala fölé, és legyen az ív felezőpontja F. Ha AB=AC, akkor a kérdéses szakasz nyilván FA, ezért a továbbiakban feltesszük, hogy AB>AC (amit szükség esetén a B és C jelölések felcserélésével elérhetünk).

 
 
1. ábra
 

A BC oldal felezőpontját D-vel jelölve az FD szakasz felezi a körszelet területét, DA pedig a háromszögét. Így a BA, AD, DF szakaszokkal és az FB körívvel határolt S1 rész-idom területe fele a körszeletből és a háromszögből álló S idom területének.
A megtört FDA határ helyett szerkesztenünk kell a követelmény szerint olyan E pontot S határán, melyre az FEB idom területe megegyezik S1 területével. Az utóbbi az ADF△ területével, az előbbi pedig az AEF△-ével kisebb az FAB idom területénél, tehát e két háromszög területének is egyenlőnek kell lennie, és mivel AF oldaluk közös, az erre merőleges magasságuk egyenlő, azaz DE∥AF. Ez egyben megadja a szerkesztés módját is: az E pontot a D-n át AF-fel párhuzamosan húzott egyenes metszi ki AB-ből.
Az FE szakasz csak akkor felel meg a feladat feltételének, ha egész hosszában az S idomban halad, más szóval, ha metszi a BC szakaszt. Szélső eset, ha FE áthalad C-n, ekkor S másik része az FC húr fölötti körszeletből és a CAE háromszögből áll, egyetlen közös pontjuk C. Ha FE a C-n túl metszi a BC egyenest, akkor az FBE idom az S-be nem tartozó területrészt is tartalmaz, ekkor a feladat nem oldható meg.
 
Vicsek Tamás (Budapest, Radnóti M. g. II. o. t.)
 

Megjegyzés. Ugyanerre a végrehajtásra vezet a következő meggondolás is. AB és FD metszéspontját G-vel jelölve a (rövidebb) GD alapú GDA háromszög helyett (hosszabb) GF alapú GFE háromszöget kívánunk csatolni a GFB idomhoz. Evégett E-t úgy kell meghatározni, hogy teljesüljön GF⋅EE'=GD⋅AA' (EE', AA' a magasságok), ill. egy hasonló háromszög-pár felhasználásával átalakítva
E'E:A'A=GE:GA=GD:GF,
és ez teljesül, ha DE∥FA.
 
 
2. ábra
 

II. megoldás (a szerkesztésre). Legyen (a fenti jelöléseken felül) K a GA szakasz felezőpontja. S-nek BFCG rész-idomát az FG szakasz, a GCA háromszöget a CK szakasz felezi, és feladatunk BFG-hez hozzácsatolni az F-ből kiinduló FE szakasszal a GCK háromszöggel egyenlő területű FGE háromszöget.
Ha a C-n átmenő, AB-vel párhuzamos egyenes éppen átmegy F-en, akkor nyilván K a keresett pont (ekkor GF=2GD, és ezért GE=GA/2=GK). Különben a fenti meggondolás mintájára a szerkesztés a következő: L-et az FG egyenesből az LC∥AB egyenes metszi ki, E-t pedig AB-ből az LE∥FK egyenes.
 
Székely Gábor (Budapest, Madách I. g. III. o. t.)