Kezdőlap


Feladat:	878. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Rimóczi Péter
Füzet:	1964/szeptember, 17. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	"a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Gyakorlat, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/december: 878. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) A háromjegyű természetes számok a 9-es számrendszerben $9^{2} = 81$ -től $9^{3} - 1 = 728$ -ig terjednek, a 11-es számrendszerben pedig $11^{2} = 121$ -től $11^{3} - 1 = 1330$ -ig. A mindkét rendszerben háromjegyű számok legnagyobbika 728, legkisebbikük 121, így számuk $728 - (121 - 1) = 608$ .
b) Legyen a keresett szám alakja a 9-es számrendszerben ${\bar{A B C}}_{9} = 81 A + 9 B + C$ , így a 11-es számrendszerben ${\bar{C B A}}_{11} = 121 C + 11 B + A$ , a számjegyekre egyrészt $1 \leq A$ , $C \leq 8$ , másrészt $0 \leq B \leq 8$ . A két kifejezés egyenlőségéből

\begin{matrix} B = 40 A - 60 C = 20 (2 A - 3 C) = 20 k, \end{matrix}

ahol

k

egész. Ez csak

B = 0

és

k = 0

, azaz

2 A = 3 C

esetén lehetséges, így viszont

A

osztható 3-mal,

A = 3

, vagy 6, és végül

C = 2

, ill. 4. A követelménynek a következő két szám felel meg:

\begin{matrix} 302_{9} = 203_{11} = 245_{10}, 604_{9} = 406_{11} = 490_{10} . \end{matrix}

Rimóczi Péter (Debrecen, Kodály Z. zenei g. II. o. t.)