Kezdőlap


Feladat:	877. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Péter Tamás
Füzet:	1964/szeptember, 16. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Oszthatóság, Gyakorlat, Prímtényezős felbontás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/december: 877. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1963 = 13 \cdot 151$ , és itt mindkét tényező prímszám. Elegendő tehát megmutatnunk, hogy mind a számláló, mind a nevező osztható 13-mal és 151-gyel.
Írjuk át a számlálót a következő alakba:

\begin{matrix} 13 (733^{n} + 150 \cdot 582^{n}) = 13 [151 \cdot 582^{n} + (733^{n} - 582^{n})] . \end{matrix}

A belső zárójelbeli különbség osztható az alapok különbségével:

733 - 582 = 151

-gyel, így az oszthatóság a számlálóra fennáll.
A nevező esetében a tagok alábbi két csoportosítása vezet célhoz:

\begin{matrix} (3333^{n} - 733^{n}) - (1068^{n} - 431^{n}), \\ (3333^{n} - 1068^{n}) - (733^{n} - 431^{n}) . \end{matrix}

Az elsőben a két kéttagú osztható

3333 - 733 = 2600 = 13 \cdot 200

-zal, ill.

1068 - 431 = 637 = 13 \cdot 49

-cel, tehát mindkét kéttagú osztható 13-mal. A második csoportosításban hasonlóan

3333 - 1068 = 2265 = 151 \cdot 15

, és

733 - 431 = 302 = 151 \cdot 2

, mindkét kéttagú osztható 151-gyel. Ezt akartuk bizonyítani.

Péter Tamás (Dombóvár, Gőgös I. g. II. o. t.)

Megjegyzés. Tetszetősen vezet célhoz a számláló következő átalakítása is:

\begin{matrix} 1963 \cdot 582^{n} + 13 (733^{n} - 582^{n}), \end{matrix}

de nem lényegesen különböző a fentitől.